Leis dos senos e cossenos

Introdução

Na trigonometria, as leis dos senos e cossenos são fundamentais para resolver problemas que envolvem triângulos. Estas regras permitem-nos encontrar ângulos e lados desconhecidos de um triângulo quando certos outros elementos do triângulo são conhecidos. Elas são ferramentas essenciais não só na geometria, mas também em aplicações do mundo real, como engenharia, navegação e física.

Lei dos senos

A Lei dos Senos afirma que em qualquer triângulo, a razão entre o comprimento de um lado e o seno do ângulo oposto é constante. Ela pode ser escrita como:

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

Aqui, a, b e c são os comprimentos dos lados do triângulo, respectivamente, e A, B e C são os ângulos opostos.

Exemplo visual da Lei dos Senos

No triângulo acima, você pode aplicar a Lei dos Senos para encontrar os lados ou ângulos desconhecidos.

Exemplo de aplicação da Lei dos Senos

Suponha que você tenha um triângulo com lados a = 8, ângulo A = 30°, e ângulo B = 45°. Para encontrar o lado b, use:

a / sin(A) = b / sin(B)

Primeiro, encontre o valor do seno:

sin(30°) = 0.5 e sin(45°) = 0.707

Uso da Lei dos Senos:

8 / 0.5 = b / 0.707

Resolvendo, temos:

b = 8 * 0.707 / 0.5 = 11.312

Assim, o comprimento do lado b é aproximadamente 11.312.

Lei dos cossenos

A Lei dos Cossenos é útil para calcular o lado desconhecido de um triângulo quando dois lados e o ângulo entre eles são conhecidos, ou para encontrar um ângulo quando todos os três lados são conhecidos. A fórmula é:

c² = a² + b² - 2ab * cos(C)

Isso pode ser rearranjado para encontrar o ângulo:

cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)

Exemplo visual da Lei dos Cossenos

No triângulo mostrado, a Lei dos Cossenos pode ser usada para encontrar ângulos ou lados desconhecidos.

Exemplo de aplicação da Lei dos Cossenos

Imagine um triângulo com lados a = 5, b = 7 e ângulo C = 60°. Para encontrar o terceiro lado c, use:

c² = a² + b² - 2ab * cos(C)

Comece encontrando cos(60°):

cos(60°) = 0.5

Substitua e resolva:

c² = 5² + 7² - 2 * 5 * 7 * 0.5 c² = 25 + 49 - 35 c² = 39 c = sqrt(39) ≈ 6.24

Portanto, o comprimento do lado c é aproximadamente 6.24.

Uso de ambas as leis juntas

Às vezes, você precisará usar tanto a Lei dos Senos quanto a Lei dos Cossenos para resolver um problema. Por exemplo, se você tem um triângulo com dois lados e nenhum ângulo entre eles, pode primeiro usar a Lei dos Cossenos para encontrar o terceiro lado e depois usar a Lei dos Senos para encontrar os ângulos desconhecidos.

Exemplo combinando ambas as leis

Imagine um triângulo com lados a = 9, b = 12 e B = 75°. Para calcular o ângulo A e o lado c, primeiro encontre c usando a lei dos cossenos:

c² = a² + b² - 2ab * cos(B) c² = 9² + 12² - 2 * 9 * 12 * cos(75°)

O cosseno do ângulo 75° é:

cos(75°) ≈ 0.2588

Substitua na fórmula:

c² = 81 + 144 - 216 * 0.2588 c² = 225 - 55.9408 c² ≈ 169.0592 c ≈ sqrt(169.0592) c ≈ 13

Então, use a lei dos senos para encontrar o ângulo A:

sin(A) / a = sin(B) / b sin(A) / 9 = sin(75°) / 12

Encontre sin(75°):

sin(75°) ≈ 0.9659

Resolva para sin(A):

sin(A) = 9 * 0.9659 / 12 sin(A) ≈ 0.7244

Finalmente, determine o ângulo A:

A ≈ arcsin(0.7244) ≈ 46.28°

Portanto, o ângulo A é aproximadamente 46.28°, e o lado c é aproximadamente 13.