正弦定理と余弦定理

はじめに

三角法において、正弦定理と余弦定理は三角形に関する問題を解くための基本です。これらのルールにより、三角形のある要素が既知の場合に、未知の角度や辺を見つけることができます。これらは幾何学だけでなく、工学、航海、物理学などの実世界の応用においても重要なツールです。

正弦定理

正弦定理は、任意の三角形において、ある辺の長さとそれに対する角の正弦の比が一定であることを示します。これは次のように表されます:

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

ここで、a, b, cは三角形の辺の長さであり、A, B, Cはそれぞれに対する対角です。

正弦定理の視覚的な例

上記の三角形では、正弦定理を適用して未知の辺や角度を見つけることができます。

正弦定理の適用例

たとえば、辺a = 8、角A = 30°、角B = 45°を持つ三角形があるとします。辺bを求めるには、以下を使用します:

a / sin(A) = b / sin(B)

まず、正弦の値を求めます:

sin(30°) = 0.5 and sin(45°) = 0.707

正弦定理の使用:

8 / 0.5 = b / 0.707

これを解くと:

b = 8 * 0.707 / 0.5 = 11.312

したがって、辺bの長さは約11.312です。

余弦定理

余弦定理は、二辺とその間の角が既知の場合に三角形の未知の辺を計算するか、三辺が既知の場合に角を求めるのに便利です。公式は次のとおりです:

c² = a² + b² - 2ab * cos(C)

角度を求めるために次のように再配置できます:

cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)

余弦定理の視覚的な例

示された三角形では、余弦定理を使用して未知の角または辺を求めることができます。

余弦定理の適用例

辺a = 5、b = 7、角C = 60°を持つ三角形を想像してみてください。三番目の辺cを求めるには、次を使用します:

c² = a² + b² - 2ab * cos(C)

まずcos(60°)を求めます:

cos(60°) = 0.5

代入して解きます:

c² = 5² + 7² - 2 * 5 * 7 * 0.5 c² = 25 + 49 - 35 c² = 39 c = sqrt(39) ≈ 6.24

したがって、辺cの長さは約6.24です。

両方の法則の使用

時には、問題を解くために正弦定理と余弦定理の両方を使用する必要があります。たとえば、二辺とその間に角度がない場合、まず余弦定理を使用して三番目の辺を求め、その後に正弦定理を使用して未知の角を見つけることができます。

両方の法則を組み合わせた例

辺a = 9、b = 12、B = 75°の三角形を想像してください。角Aと辺cを計算するには、まず余弦定理を使用してcを求めます:

c² = a² + b² - 2ab * cos(B) c² = 9² + 12² - 2 * 9 * 12 * cos(75°)

角75°の余弦は約次のとおりです:

cos(75°) ≈ 0.2588

公式に代入します:

c² = 81 + 144 - 216 * 0.2588 c² = 225 - 55.9408 c² ≈ 169.0592 c ≈ sqrt(169.0592) c ≈ 13

次に、正弦定理を使用して角Aを見つけます:

sin(A) / a = sin(B) / b sin(A) / 9 = sin(75°) / 12

sin(75°)を求めます:

sin(75°) ≈ 0.9659

sin(A)を解く:

sin(A) = 9 * 0.9659 / 12 sin(A) ≈ 0.7244

最終的に角Aを決定します:

A ≈ arcsin(0.7244) ≈ 46.28°

したがって、角Aは約46.28°であり、辺cは約13です。