साइन और कोसाइन के नियम

परिचय

त्रिकोणमिति में, त्रिभुजों को हल करने वाले समस्याओं के लिए साइन और कोसाइन के नियम मौलिक हैं। ये नियम हमें त्रिभुज के अज्ञात कोणों और भुजाओं को खोजने की अनुमति देते हैं जब त्रिभुज के कुछ अन्य तत्व ज्ञात होते हैं। वे न केवल ज्यामिति में बल्कि वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों जैसे इंजीनियरिंग, नेविगेशन और भौतिकी में भी आवश्यक उपकरण हैं।

साइन का नियम

साइन का नियम यह बताता है कि किसी भी त्रिभुज में, एक भुजा की लंबाई का विरोधी कोण के साइन के अनुपात स्थिर होता है। इसे निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

यहां, a, b और c क्रमशः त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं, और A, B और C विरोधी कोण हैं।

साइन के नियम का दृश्य उदाहरण

उपरोक्त त्रिभुज में, आप साइन के नियम को अज्ञात भुजाओं या कोणों को खोजने के लिए लागू कर सकते हैं।

साइन के नियम का उदाहरण अनुप्रयोग

मान लीजिए आपके पास एक त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ a = 8, कोण A = 30°, और कोण B = 45° हैं। भुजा b को खोजने के लिए उपयोग करें:

a / sin(A) = b / sin(B)

पहले, साइन मान खोजें:

sin(30°) = 0.5 और sin(45°) = 0.707

साइन के नियम का उपयोग:

8 / 0.5 = b / 0.707

इसे हल करने पर:

b = 8 * 0.707 / 0.5 = 11.312

इस प्रकार, भुजा b की लंबाई लगभग 11.312 है।

कोसाइन का नियम

कोसाइन का नियम तब उपयोगी होता है जब दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण ज्ञात हो, या जब सभी तीन भुजाएँ ज्ञात हों तब किसी भुजा को खोजने के लिए। सूत्र है:

c² = a² + b² - 2ab * cos(C)

इसे कोण को खोजने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:

cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)

कोसाइन के नियम का दृश्य उदाहरण

दिखाए गए त्रिभुज में, कोसाइन के नियम का उपयोग करके अज्ञात कोणों या भुजाओं को पाया जा सकता है।

कोसाइन के नियम का उदाहरण अनुप्रयोग

कल्पना करें कि आपके पास एक त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ a = 5, b = 7 और कोण C = 60° हैं। तीसरी भुजा c को खोजने के लिए उपयोग करें:

c² = a² + b² - 2ab * cos(C)

पहले cos(60°) खोजें:

cos(60°) = 0.5

प्रतिस्थापित करें और हल करें:

c² = 5² + 7² - 2 * 5 * 7 * 0.5 c² = 25 + 49 - 35 c² = 39 c = sqrt(39) ≈ 6.24

इसलिए, भुजा c की लंबाई लगभग 6.24 है।

दोनों नियमों का एक साथ उपयोग

कभी-कभी, आपको किसी समस्या को हल करने के लिए साइन के नियम और कोसाइन के नियम का दोनों का उपयोग करना पड़ सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास दो भुजाएँ और उनके बीच कोई कोण नहीं है, तो आप पहले कोसाइन के नियम का उपयोग करके तीसरी भुजा को खोज सकते हैं और फिर साइन के नियम का उपयोग करके अज्ञात कोणों को खोज सकते हैं।

दोनों नियमों का संयोजन

कल्पना करें कि आपके पास एक त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ a = 9, b = 12 और B = 75° हैं। कोण A और भुजा c की गणना करने के लिए, पहले कोसाइन के नियम का उपयोग करके c को खोजें:

c² = a² + b² - 2ab * cos(B) c² = 9² + 12² - 2 * 9 * 12 * cos(75°)

कोण 75° का कोसाइन है:

cos(75°) ≈ 0.2588

सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

c² = 81 + 144 - 216 * 0.2588 c² = 225 - 55.9408 c² ≈ 169.0592 c ≈ sqrt(169.0592) c ≈ 13

फिर, साइन के नियम का उपयोग करके कोण A को खोजें:

sin(A) / a = sin(B) / b sin(A) / 9 = sin(75°) / 12

sin(75°) खोजें:

sin(75°) ≈ 0.9659

sin(A) के लिए हल करें:

sin(A) = 9 * 0.9659 / 12 sin(A) ≈ 0.7244

अंत में कोण A निर्धारित करें:

A ≈ arcsin(0.7244) ≈ 46.28°

इसलिए, कोण A लगभग 46.28° है, और भुजा c लगभग 13 है।