Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Leyes de senos y cosenos


Introducción

En trigonometría, las leyes de senos y cosenos son fundamentales para resolver problemas que involucran triángulos. Estas reglas nos permiten encontrar ángulos y lados desconocidos de un triángulo cuando se conocen ciertos otros elementos del triángulo. Son herramientas esenciales no solo en geometría sino también en aplicaciones del mundo real como la ingeniería, la navegación y la física.

Ley de senos

La Ley de Senos establece que en cualquier triángulo, la razón de la longitud de un lado al seno del ángulo opuesto es constante. Se puede escribir como:

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

Aquí, a, b y c son las longitudes de los lados del triángulo respectivamente, y A, B y C son los ángulos opuestos.

Ejemplo visual de la Ley de Senos

A B C A B C

En el triángulo anterior, puedes aplicar la Ley de Senos para encontrar los lados o ángulos desconocidos.

Aplicación de ejemplo de la Ley de Senos

Supongamos que tienes un triángulo con lados a = 8, ángulo A = 30° y ángulo B = 45°. Para encontrar el lado b, utiliza:

a / sin(A) = b / sin(B)

Primero, encuentra el valor del seno:

sin(30°) = 0.5 y sin(45°) = 0.707

Uso de la Ley de Senos:

8 / 0.5 = b / 0.707

Resolver esta ecuación da:

b = 8 * 0.707 / 0.5 = 11.312

Por lo tanto, la longitud del lado b es aproximadamente 11.312.

Ley de cosenos

La Ley de Cosenos es útil para calcular el lado desconocido de un triángulo cuando se conocen dos lados y el ángulo incluido, o para encontrar un ángulo cuando se conocen los tres lados. La fórmula es:

c² = a² + b² - 2ab * cos(C)

Esto se puede reorganizar para encontrar el ángulo:

cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)

Ejemplo visual de la Ley de Cosenos

C A B B A C

En el triángulo mostrado, la Ley de Cosenos puede usarse para encontrar ángulos o lados desconocidos.

Aplicación de ejemplo de la Ley de Cosenos

Imagina un triángulo con lados a = 5, b = 7 y ángulo C = 60°. Para encontrar el tercer lado c, utiliza:

c² = a² + b² - 2ab * cos(C)

Comienza encontrando cos(60°):

cos(60°) = 0.5

Sustituye y resuelve:

c² = 5² + 7² - 2 * 5 * 7 * 0.5 c² = 25 + 49 - 35 c² = 39 c = sqrt(39) ≈ 6.24

Por lo tanto, la longitud del lado c es aproximadamente 6.24.

Uso conjunto de ambas leyes

A veces, es posible que necesites usar tanto la Ley de Senos como la Ley de Cosenos para resolver un problema. Por ejemplo, si tienes un triángulo con dos lados y ningún ángulo entre ellos, primero puedes usar la Ley de Cosenos para encontrar el tercer lado y luego usar la Ley de Senos para encontrar los ángulos desconocidos.

Ejemplo combinando ambas leyes

Imagina un triángulo con lados a = 9, b = 12 y B = 75°. Para calcular el ángulo A y el lado c, primero encuentra c usando la ley de cosenos:

c² = a² + b² - 2ab * cos(B) c² = 9² + 12² - 2 * 9 * 12 * cos(75°)

El coseno del ángulo 75° es:

cos(75°) ≈ 0.2588

Sustituye en la fórmula:

c² = 81 + 144 - 216 * 0.2588 c² = 225 - 55.9408 c² ≈ 169.0592 c ≈ sqrt(169.0592) c ≈ 13

Luego, usa la ley de senos para encontrar el ángulo A:

sin(A) / a = sin(B) / b sin(A) / 9 = sin(75°) / 12

Encuentra sin(75°):

sin(75°) ≈ 0.9659

Resuelve para sin(A):

sin(A) = 9 * 0.9659 / 12 sin(A) ≈ 0.7244

Finalmente determina el ángulo A:

A ≈ arcsin(0.7244) ≈ 46.28°

Por lo tanto, el ángulo A es aproximadamente 46.28°, y el lado c es aproximadamente 13.


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