11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas


Funções trigonométricas são uma parte fundamental da matemática e são usadas para descrever fenômenos periódicos como ondas, oscilações e movimento circular. As funções trigonométricas mais comuns são seno (sin), cosseno (cos) e tangente (tan). Este guia se concentrará no que acontece com os gráficos dessas funções quando aplicamos uma mudança de fase.

Compreendendo as mudanças de fase

O deslocamento de fase ocorre quando o gráfico de uma função trigonométrica é deslocado horizontalmente de sua posição normal. Isso é como deslizar a onda para a esquerda ou direita no gráfico. Isso é fundamentalmente importante ao modelar cenários do mundo real em que a onda pode não começar da posição normal.

Funções básicas de seno e cosseno

As fórmulas fundamentais para as funções seno e cosseno são escritas da seguinte forma:

y = sin(x)
y = cos(x)

Seus gráficos originais são os seguintes:

X Y

A curva azul representa a função seno e a curva vermelha representa a função cosseno. Estas são representações típicas sem alterações.

Adicionando deslocamentos de fase ao seno e cosseno

A mudança de fase nessas equações pode ser apresentada como:

y = sin(x - c)
y = cos(x - c)

A variável c representa o deslocamento de fase. Se c > 0, há um deslocamento para a direita. Se c < 0, há um deslocamento para a esquerda. Vamos ver alguns exemplos:

Exemplo 1: Função seno com deslocamento de fase

y = sin(x - π/2)

No gráfico acima, a curva seno original é representada pela linha tracejada, e a curva seno com um deslocamento de fase de π/2 (ou 90 graus) para a direita é representada pela linha sólida. Isso mostra como a onda do seno é deslocada horizontalmente ao longo do eixo x pelo valor do deslocamento de fase.

Exemplo 2: Função cosseno com deslocamento de fase

y = cos(x + π/4)

No gráfico acima, você pode ver que a curva cosseno original é representada por uma linha tracejada, e a curva com deslocamento de fase é representada por uma linha sólida. A curva está deslocada 45 graus (π/4 radianos) para a esquerda.

Efeito da mudança de fase no gráfico

Compreender as mudanças de fase é importante ao traçar ou interpretar funções trigonométricas, especialmente em áreas como a física e a engenharia. Aqui estão alguns pontos-chave sobre o efeito das mudanças de fase:

  • Direção do deslocamento: Um sinal negativo antes do valor do deslocamento de fase (c) na equação indica um deslocamento para a direita, enquanto um sinal positivo indica um deslocamento para a esquerda.
  • Tamanho do deslocamento: O tamanho do deslocamento é determinado pelo valor de c. Quanto maior o valor, maior o deslocamento do gráfico.
  • Sem mudança de forma: Os deslocamentos de fase não alteram o tamanho ou a forma da onda. Eles apenas movem-no ao longo do eixo x.

Funções trigonométricas com múltiplas transformações

Os deslocamentos de fase podem ser combinados com outras transformações, como deslocamentos de amplitude ou deslocamentos verticais. Abaixo está um exemplo de uma onda de seno com escalonamento de amplitude e deslocamentos de fase:

Exemplo 3: Conversão conjunta

y = 2 * sin(x - π/3) + 1

Neste gráfico, a linha tracejada representa a curva seno original. A linha sólida representa a nova curva seno, que é deslocada para a direita por π/3 e tem o dobro da amplitude, conforme identificado pelos círculos e o deslocamento vertical adicionado à nova curva.

Conclusão e aplicações da vida real

Compreender as mudanças de fase é importante em muitas aplicações. Por exemplo:

  • Ondas sonoras: Os deslocamentos de fase explicam como fones de ouvido com cancelamento de ruído funcionam, criando formas de onda que deslocam o som em fase e os cancelam.
  • Ondas de luz: Em óptica, ajustar a fase das ondas de luz é importante na criação de holografia ou no direcionamento de feixes de laser.
  • Engenharia elétrica: Os deslocamentos de fase são importantes no design de circuitos e no processamento de sinais.

Ao dominar o conceito de mudança de fase e combiná-lo com mudanças de amplitude e frequência, você pode descrever virtualmente qualquer comportamento periódico, tornando-o um conceito essencial na ciência e na engenharia.


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