Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas


Las funciones trigonométricas son una parte fundamental de las matemáticas y se utilizan para describir fenómenos periódicos como ondas, oscilaciones y movimientos circulares. Las funciones trigonométricas más comunes son el seno (sin), el coseno (cos) y la tangente (tan). Esta guía se centrará en lo que sucede con los gráficos de estas funciones cuando aplicamos un cambio de fase.

Entendiendo los cambios de fase

El cambio de fase ocurre cuando el gráfico de una función trigonométrica se desplaza horizontalmente desde su posición normal. Esto es como deslizar la onda hacia la izquierda o hacia la derecha en el gráfico. Esto es fundamentalmente importante al modelar escenarios del mundo real donde la onda puede no comenzar desde la posición normal.

Funciones básicas de seno y coseno

Las fórmulas fundamentales para las funciones seno y coseno se escriben de la siguiente manera:

y = sin(x)
y = cos(x)

Sus gráficos originales son los siguientes:

X Y

La curva azul representa la función seno y la curva roja representa la función coseno. Estas son representaciones típicas sin ningún cambio.

Agregando cambios de fase al seno y coseno

El cambio de fase en estas ecuaciones se puede presentar como:

y = sin(x - c)
y = cos(x - c)

La variable c representa el cambio de fase. Si c > 0, entonces hay un desplazamiento hacia la derecha. Si c < 0, entonces hay un desplazamiento hacia la izquierda. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: Función seno con cambio de fase

y = sin(x - π/2)

En el gráfico de arriba, la curva del seno original está representada por la línea discontinua, y la curva del seno con un cambio de fase de π/2 (o 90 grados) a la derecha está representada por la línea continua. Esto muestra cómo la onda del seno se desplaza horizontalmente a lo largo del eje x por el valor del cambio de fase.

Ejemplo 2: Función coseno con cambio de fase

y = cos(x + π/4)

En el gráfico de arriba, se puede ver que la curva del coseno original está representada por una línea discontinua, y la curva con cambio de fase está representada por una línea continua. La curva se desplaza 45 grados (π/4 radianes) hacia la izquierda.

Efecto del cambio de fase en el gráfico

Entender los cambios de fase es importante al trazar o interpretar funciones trigonométricas, especialmente en campos como la física y la ingeniería. A continuación, se presentan algunos puntos clave sobre el efecto de los cambios de fase:

  • Dirección del desplazamiento: Un signo negativo antes del valor del cambio de fase (c) en la ecuación indica un desplazamiento hacia la derecha, mientras que un signo positivo indica un desplazamiento hacia la izquierda.
  • Tamaño del desplazamiento: El tamaño del desplazamiento está determinado por el valor de c. Cuanto mayor sea el valor, más lejos se desplaza el gráfico.
  • Sin cambio en la forma: Los cambios de fase no alteran el tamaño o la forma de la onda. Solo la mueven a lo largo del eje x.

Funciones trigonométricas con múltiples transformaciones

Los cambios de fase se pueden combinar con otras transformaciones, como cambios de amplitud o cambios verticales. A continuación se muestra un ejemplo de una onda de seno con escalado de amplitud y cambios de fase:

Ejemplo 3: Conversión conjunta

y = 2 * sin(x - π/3) + 1

En este gráfico, la línea discontinua representa la curva del seno original. La línea continua representa la nueva curva del seno, que se desplaza a la derecha por π/3 y tiene el doble de amplitud, como lo identifican los círculos y el desplazamiento vertical adicional en la nueva curva.

Conclusión y aplicaciones en la vida real

Entender los cambios de fase es importante en muchas aplicaciones. Por ejemplo:

  • Ondas sonoras: Los cambios de fase explican cómo funcionan los auriculares con cancelación de ruido al crear formas de onda que cambian de fase las ondas sonoras y las cancelan.
  • Ondas de luz: En óptica, ajustar la fase de las ondas de luz es importante para crear holografías o el direccionamiento de haces láser.
  • Ingeniería eléctrica: Los cambios de fase son importantes en el diseño de circuitos y procesamiento de señales.

Al dominar el concepto de cambio de fase y combinarlo con cambios de amplitud y frecuencia, puedes describir prácticamente cualquier comportamiento periódico, lo que lo convierte en un concepto esencial en ciencia e ingeniería.


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Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas

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