十一年级
  1. 代数  1.1. 理解代数中的数列和级数  1.1.1. 了解等差数列  1.1.2. 算术级数  1.1.3. 理解等比数列  1.1.4. 理解几何级数  1.1.5. 收敛与发散  1.1.6. 理解代数中的“无穷和”  1.1.7. 西格玛记号  1.2. 复数  1.2.1. 理解虚数和复数  1.2.2. 复数的运算  1.2.3. 复数的极坐标形式和直角坐标形式  1.2.4. 复共轭  1.2.5. 模和辐角  1.2.6. De Moivre 定理  1.2.7. 复数的幂和根  1.3. 二项式定理  1.3.1. 二项式的展开  1.3.2. 二项式定理中的常见术语  1.3.3. 二项式系数  1.3.4. 二项定理的应用  1.3.5. 帕斯卡三角形
  2. 函数和图  2.1. 任务类型  2.1.1. 多项式函数  2.1.2. 有理函数  2.1.3. 指数函数  2.1.4. 对数函数  2.1.5. 三角函数  2.1.6. 零碎工作  2.2. 函数的转换  2.2.1. 翻译  2.2.2. 理解函数变换中的反射  2.2.3. 拉伸和拉伸  2.2.4. 理解函数和图形中的旋转  2.3. 反函数  2.3.1. 求逆  2.3.2. 反函数的图像  2.3.3. 反函数的性质  2.3.4. 逆函数的限制
  3. 三角学  3.1. 三角函数比和恒等式  3.1.1. 基本三角函数比  3.1.2. 理解三角函数中的勾股恒等式  3.1.3. 和差公式  3.1.4. 倍角公式  3.1.5. 理解三角函数中的半角公式  3.1.6. 积化和与和化积公式  3.2. 三角函数方程  3.2.1. 解三角方程  3.2.2. 三角函数方程的通解  3.3. 三角函数的图像  3.3.1. 正弦图  3.3.2. 理解余弦图  3.3.3. 正切图  3.3.4. 振幅与周期调整  3.3.5. 三角函数图中的相位变化  3.4. 三角学的应用  3.4.1. 正弦定律与余弦定律  3.4.2. 三角形的面积  3.4.3. 解三角形  3.4.4. 轴承和导航
  4. 微积分入门  4.1. 理解微积分中的极限和连续性  4.1.1. 极限的概念  4.1.2. 单侧极限  4.1.3. 理解微积分中的无穷极限  4.1.4. 函数的连续性  4.1.5. 不连续性的类型  4.2. 歧视  4.2.1. 导数的定义  4.2.2. 微分规则  4.2.3. 高阶导数  4.2.4. 链式法则  4.2.5. 乘积法则  4.2.6. 理解微积分中的商法则  4.3. 微分的应用  4.3.1. 变化率  4.3.2. 切线与法线  4.3.3. 最大值和最小值  4.3.4. 理解递增和递减函数  4.3.5. 优化问题  4.3.6. 绘制曲线  4.3.7. 微分应用中的相关变化率  4.4. 什么是积分？  4.4.1. 不定积分  4.4.2. 不定积分  4.4.3. 定积分  4.4.4. 微积分基本定理  4.4.5. 积分技术  4.4.6. 理解积分中曲线下的面积  4.5. 积分的应用  4.5.1. 曲线之间的面积  4.5.2. 旋转体的体积  4.5.3. 理解微积分中函数的平均值
  5. 向量和矩阵  5.1. 向量  5.1.1. 介绍  5.1.2. 向量运算  5.1.3. 理解点积  5.1.4. 叉积  5.1.5. 几何中的应用  5.1.6. 向量的投影  5.2. 矩阵  5.2.1. 矩阵的类型  5.2.2. 理解矩阵运算  5.2.3. 行列式  5.2.4. 矩阵的逆  5.2.5. 解线性方程组  5.2.6. 克莱姆法则
  6. 概率与统计  6.1. 理解数学中的概率  6.1.1. 基本概率概念  6.1.2. 条件概率  6.1.3. 概率中独立事件和依赖事件的介绍  6.1.4. 贝叶斯定理  6.1.5. 组合概率  6.2. 随机变量  6.2.1. 离散随机变量  6.2.2. 连续随机变量  6.2.3. 概率分布  6.3. 概率分布  6.3.1. 理解二项分布  6.3.2. 正态分布  6.3.3. 泊松分布  6.3.4. 均匀分布  6.4. 图形  6.4.1. 集中趋势的度量  6.4.2. 离散度量  6.4.3. 数据收集与表示  6.4.4. 相关性和回归  6.4.5. 抽样技术
  7. 坐标几何  7.1. 坐标几何中的直线  7.1.1. 斜率和截距形式在坐标几何中的应用  7.1.2. 直线中的距离公式  7.1.3. 理解坐标几何中的中点公式  7.1.4. 直线之间的角度  7.1.5. 直线方程  7.2. 圆锥曲线  7.2.1. 圆  7.2.2. 抛物线简介  7.2.3. 圆锥曲线中的椭圆  7.2.4. 理解圆锥曲线中的双曲线  7.2.5. 圆锥曲线的性质  7.2.6. 锥体的参数方程  7.2.7. 圆锥曲线的极坐标
  8. 算术逻辑  8.1. 数理逻辑中的逻辑简介  8.1.1. 语句和逻辑连词  8.1.2. 真值表  8.1.3. 逻辑等价  8.1.4. 数学逻辑中的量词  8.1.5. 证明技巧  8.2. 理解数学逻辑中的证明  8.2.1. 直接证据  8.2.2. 间接证据  8.2.3. 理解反证法  8.2.4. 数学归纳法证明

十一年级 → 三角学 → 三角函数的图像 ↓


正弦图


在三角学中，正弦图是帮助我们理解周期函数的一个重要组成部分，周期函数是在某个间隔内重复的函数。正弦图是正弦函数的可视化表示，正弦函数是与直角三角形相关的基本三角函数之一。该函数计算给定角度的对边长度与斜边之间的比率。正弦函数表示为 sin(θ)。

理解正弦函数的基本形式

正弦函数在数学上定义为：

y = sin(x)

该函数以角度 x 作为输入，输出该角度的正弦值，表示为 y。角度 x 通常以弧度为单位测量，但也可以用度数测量。为了简单起见，我们经常使用单位圆（半径为1的圆）来表示正弦函数，这使得斜边始终等于1。

周期性和振幅

正弦函数的图形成一种波状图案，称为正弦波。该波的两个主要特征是振幅和周期：

  • 振幅： 正弦波的振幅是函数达到的最大值。对于基本正弦函数 y = sin(x)，振幅为1。这是因为在单位圆上，角度的正弦值不会大于1或小于-1。
  • 周期： 正弦函数的周期是函数完成一个完整周期并开始重复的间隔。对于 y = sin(x)，周期为 2π 弧度（或360度）。

观察基本正弦图

绘制时，基本正弦图看起来像一条沿x轴上下振荡的平滑波。它从原点开始，在 π/2 弧度（90度）处达到1，在 π 弧度（180度）处回到0，在 3π/2 弧度（270度）降到-1，并在 2π 弧度（360度）处回到0。

y = sin(x) 0 π 2π -π -1 1 1 -1

正弦图的变换

正弦图可以通过变换改变其外观。这些变换包括振幅、周期、水平平移和垂直平移。

1. 改变尺寸

通过将正弦函数乘以一个常数可以改变正弦波的振幅。这在不影响其周期的情况下改变波的高度。

y = a * sin(x)

值 a 是振幅。如果 a 大于1，波会垂直拉伸。如果 a 在0和1之间，则会压缩。

y = sin(x) y = 0.5 * sin(x)

2. 改变时间

通过将变量 x 乘以一个常数可以改变正弦函数的周期。这改变了波的频率。

y = sin(b * x)

周期计算为 2π / |b|。b 的值越大，周期越小，从而在相同距离内产生更多的波。

y = sin(x) y = sin(2x)

3. 水平平移

通过在函数内部加上或减去一个常数，可以将正弦波向左或向右平移。

y = sin(x - c)

如果 c 为正则将图像向右平移 c 单位，如果 c 为负则向左平移。

y = sin(x) y = sin(x - π/4)

4. 垂直平移

通过在函数中加上或减去一个常数，可以将正弦图向上或向下平移。

y = sin(x) + d

如果 d 为正则图上移 d 单位，如果 d 为负则下移。

y = sin(x) y = sin(x) - 0.5

正弦图的应用

正弦图及其变换不仅在学术上有趣，而且对于理解各种实际应用非常重要。这些应用涵盖了许多领域，包括物理、工程，甚至音乐。

1. 声波

许多声音是由正弦波组成的，其中最简单的是纯音。当多个正弦波组合时，会产生更复杂的波，形成我们在环境中感知到的不同声音。

2. 光波

光波也可以用正弦函数来分析。不同颜色的光实际上是由不同波长组成的正弦波。

3. 摆的运动

简单摆的运动可以用正弦函数模拟，这有助于预测摆在任何时候的摆动位置。

这些例子展示了正弦波在描述周期性和振荡行为方面的普遍性。

结论

理解正弦图是识别自然和技术中循环现象模式的基础。借助于单位圆定义和变换，正弦图使得学生和专业人员能够在各种科学和工程环境中建模和预测行为。随着你练习解读和变换正弦波，你将对周期函数及其在现实世界中的表现发展直觉。


十一年级 → 3.3.1


U
username
0%
完成于 十一年级

← 上一个 (3.3)
三角函数的图像
下一个 (3.3.2) →
理解余弦图

评论 



正弦图

https://www.buddymath.com/g11/3.3.1?bmal=zh