11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Equações trigonométricas


Uma equação trigonométrica é um tipo de equação que envolve funções trigonométricas como seno, cosseno, tangente e suas inversas. Essas funções relacionam os ângulos e lados dos triângulos, especialmente triângulos retângulos, e são fundamentais no estudo de fenômenos periódicos, ondas, oscilações e em vários campos da física e engenharia.

O que são equações trigonométricas?

Uma equação trigonométrica é uma equação que envolve uma ou mais funções trigonométricas. O objetivo é frequentemente encontrar todos os ângulos que satisfazem a equação. Essas equações podem ser simples, como:

sen(x) = 0,5

ou mais complexas, como:

2cos²(x) - 3sen(x) + 1 = 0

Funções trigonométricas básicas

As funções trigonométricas básicas que você encontrará são:

  • sen(x) - o seno de um ângulo
  • cos(x) - o cosseno de um ângulo
  • tan(x) - a tangente de um ângulo
  • csc(x) - a cossecante de um ângulo, que é 1/sen(x)
  • sec(x) - a secante de um ângulo, que é 1/cos(x)
  • cot(x) - a cotangente de um ângulo, que é 1/tan(x)

Entendendo o círculo unitário

O círculo unitário é fundamental na trigonometria. Compreender o círculo unitário pode ajudar você a resolver equações trigonométricas de maneira eficaz. O círculo unitário é um círculo com raio 1 e centrado na origem do plano cartesiano.

1, 0 0, 1 0, -1 -1, 0

Neste círculo:

  • Na posição padrão, o ângulo é medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo.
  • Em qualquer ponto do círculo, a coordenada x fornece o cosseno do ângulo, e a coordenada y fornece o seno do ângulo.

Resolvendo equações trigonométricas

Resolver equações trigonométricas envolve encontrar todos os ângulos que satisfazem a equação dada. Aqui estão os métodos comuns:

Usando técnicas algébricas

Algumas equações trigonométricas podem ser resolvidas usando métodos algébricos ou técnicas algébricas padrão. Por exemplo:

2cos²(x) - cos(x) = 0

Você pode fatorar esta equação:

cos(x)(2cos(x) - 1) = 0

Isso leva a duas equações simples:

  • cos(x) = 0
  • 2cos(x) - 1 = 0

Estas podem ser resolvidas encontrando ângulos adequados que satisfaçam cada uma delas.

Usando a identidade

Identidades trigonométricas são equações envolvendo funções trigonométricas que são verdadeiras para todos os valores das variáveis envolvidas. Essas identidades podem facilitar a resolução de equações trigonométricas. Por exemplo:

sen²(x) + cos²(x) = 1

Esta identidade pitagórica pode ser usada para substituir sen²(x) ou cos²(x) em equações e simplificá-las.

Métodos gráficos

Equações trigonométricas também podem ser resolvidas usando métodos gráficos. Plotando as funções envolvidas e procurando a interseção, pode-se encontrar soluções aproximadas.

Exemplos de resolução de equações trigonométricas

Vamos analisar alguns exemplos de resolução de diferentes tipos de equações trigonométricas.

Exemplo 1: Equação simples

Considere a equação:

sen(x) = 0,5

Precisamos encontrar todos os ângulos em que o seno é igual a 0,5. Analisando o círculo unitário, sabemos:

  • x = π/6
  • x = 5π/6

Como o seno é periódico e tem um período de 2π, as soluções gerais são:

  • x = π/6 + 2kπ, onde k é um inteiro
  • x = 5π/6 + 2kπ, onde k é um inteiro

Exemplo 2: Equação trigonométrica quadrática

Resolva a equação:

2sen²(x) - sen(x) - 1 = 0

Considere sen(x) como uma variável, digamos u. A equação torna-se:

2u² - u - 1 = 0

Fatore isso em:

(2u + 1)(u - 1) = 0

Assim, re-substituindo u = -1/2 ou u = 1 para sen(x), obtemos:

  • sen(x) = -1/2, que dá a solução x = 7π/6, 11π/6, mais 2kπ
  • sen(x) = 1, que dá a solução x = π/2, mais 2kπ

Exemplo 3: Usando identidade

Considere:

2sen(x)cos(x) = sen(x)

Use a identidade 2sen(x)cos(x) = sen(2x):

sen(2x) = sen(x)

As soluções são as seguintes:

  • 2x = x + 2kπ dá x = 2kπ
  • 2x = π - x + 2kπ leva a x = π/3 + kπ

Conclusão

As equações trigonométricas são uma parte importante da matemática e aparecem em muitos contextos diferentes. Compreendendo técnicas algébricas, identidades trigonométricas e a natureza periódica das funções trigonométricas, é possível resolver essas equações de forma eficaz. A visualização através do círculo unitário e a compreensão das propriedades do seno, cosseno e outras funções trigonométricas são as chaves para dominar este assunto.

Sempre lembre-se de considerar a natureza periódica das funções trigonométricas e expressar sua solução como uma solução geral com períodos adequados.


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