Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Ecuaciones trigonométricas


Una ecuación trigonométrica es un tipo de ecuación que involucra funciones trigonométricas como el seno, coseno, tangente y sus inversas. Estas funciones relacionan los ángulos y los lados de los triángulos, especialmente los triángulos rectángulos, y son fundamentales en el estudio de fenómenos periódicos, ondas, oscilaciones y varios campos de la física e ingeniería.

¿Qué son las ecuaciones trigonométricas?

Una ecuación trigonométrica es una ecuación que involucra una o más funciones trigonométricas. El objetivo suele ser encontrar todos los ángulos que satisfacen la ecuación. Estas ecuaciones pueden ser simples, como:

sin(x) = 0.5

o más complejas como:

2cos^2(x) - 3sin(x) + 1 = 0

Funciones trigonométricas básicas

Las funciones trigonométricas básicas que encontrarás son:

  • sin(x) - el seno de un ángulo
  • cos(x) - el coseno de un ángulo
  • tan(x) - la tangente de un ángulo
  • csc(x) - la cosecante de un ángulo, que es 1/sin(x)
  • sec(x) - la secante de un ángulo, que es 1/cos(x)
  • cot(x) - la cotangente de un ángulo, que es 1/tan(x)

Comprendiendo el círculo unitario

El círculo unitario es fundamental en trigonometría. Comprender el círculo unitario puede ayudarte a resolver ecuaciones trigonométricas de manera efectiva. El círculo unitario es un círculo con radio 1 y está centrado en el origen del plano de coordenadas.

1, 0 0, 1 0, -1 -1, 0

En este círculo:

  • En posición estándar, el ángulo se mide en la dirección antihoraria desde el eje x positivo.
  • En cualquier punto del círculo, la coordenada x proporciona el coseno del ángulo, y la coordenada y proporciona el seno del ángulo.

Resolviendo ecuaciones trigonométricas

Resolver ecuaciones trigonométricas implica encontrar todos los ángulos que satisfacen la ecuación dada. Estos son los métodos comunes:

Usando técnicas algebraicas

Algunas ecuaciones trigonométricas pueden resolverse utilizando métodos algebraicos o técnicas algebraicas estándar. Por ejemplo:

2cos^2(x) - cos(x) = 0

Puedes factorizar esta ecuación:

cos(x)(2cos(x) - 1) = 0

Esto lleva a dos ecuaciones simples:

  • cos(x) = 0
  • 2cos(x) - 1 = 0

Estas pueden resolverse encontrando ángulos adecuados que satisfagan cada una de ellas.

Usando la identidad

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que involucran funciones trigonométricas que son ciertas para todos los valores de las variables involucradas. Estas identidades pueden facilitar la resolución de ecuaciones trigonométricas. Por ejemplo:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Esta identidad pitagórica puede usarse para sustituir sin^2(x) o cos^2(x) en las ecuaciones y simplificarlas.

Métodos gráficos

Las ecuaciones trigonométricas también pueden resolverse utilizando métodos gráficos. Al trazar las funciones involucradas y buscar la intersección, se pueden encontrar soluciones aproximadas.

Ejemplos de resolución de ecuaciones trigonométricas

Veamos algunos ejemplos de cómo resolver diferentes tipos de ecuaciones trigonométricas.

Ejemplo 1: Ecuación simple

Considera la ecuación:

sin(x) = 0.5

Necesitamos encontrar todos los ángulos donde el seno es igual a 0.5. Viendo el círculo unitario, sabemos:

  • x = π/6
  • x = 5π/6

Dado que el seno es periódico y tiene un período de 2π, las soluciones generales son:

  • x = π/6 + 2kπ, donde k es un número entero
  • x = 5π/6 + 2kπ, donde k es un número entero

Ejemplo 2: Ecuación trigonométrica cuadrática

Resuelve la ecuación:

2sin^2(x) - sin(x) - 1 = 0

Toma sin(x) como una variable, digamos u. La ecuación se convierte en:

2u^2 - u - 1 = 0

Factoriza esto en:

(2u + 1)(u - 1) = 0

Por lo tanto, volviendo a sustituir u = -1/2 o u = 1 para sin(x), obtenemos:

  • sin(x) = -1/2, lo que da la solución x = 7π/6, 11π/6, más 2kπ
  • sin(x) = 1, lo que da la solución x = π/2, más 2kπ

Ejemplo 3: Usando la identidad

Considera:

2sin(x)cos(x) = sin(x)

Usa la identidad 2sin(x)cos(x) = sin(2x):

sin(2x) = sin(x)

Las soluciones son las siguientes:

  • 2x = x + 2kπ da x = 2kπ
  • 2x = π - x + 2kπ conduce a x = π/3 + kπ

Conclusión

Las ecuaciones trigonométricas son una parte importante de las matemáticas y aparecen en muchos contextos diferentes. Al comprender técnicas algebraicas, identidades trigonométricas y la naturaleza periódica de las funciones trigonométricas, se pueden resolver estas ecuaciones de manera efectiva. La visualización utilizando el círculo unitario y la comprensión de las propiedades del seno, el coseno y otras funciones trigonométricas son las claves para dominar este asunto.

Recuerda siempre considerar la naturaleza periódica de las funciones trigonométricas y expresar tu solución como una solución general con los períodos adecuados.


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