11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Resolvendo equações trigonométricas


Trigonometria é um ramo da matemática que estuda as relações entre os lados e os ângulos dos triângulos. Neste tópico, analisamos mais de perto a solução das equações trigonométricas, que desempenham um papel vital na compreensão dessas relações.

Compreendendo equações trigonométricas

Uma equação trigonométrica é uma equação que envolve uma ou mais funções trigonométricas. As funções trigonométricas elementares são seno (sen), cosseno (cos) e tangente (tan), bem como secante (sec), cossecante (csc) e cotangente (cot).

Considere a forma geral da equação trigonométrica:

f(θ) = 0

onde f(θ) é uma função trigonométrica de θ (ângulo).

O desafio é encontrar todos os valores de θ que satisfaçam a equação. Esses valores podem ser encontrados em graus ou radianos e frequentemente existem em intervalos periódicos devido à natureza cíclica das funções trigonométricas.

Equações trigonométricas gerais

Vamos analisar alguns tipos comuns de equações trigonométricas e formas de resolvê-las:

1. Equações básicas de seno e cosseno

Os tipos mais simples de equações trigonométricas são aqueles que envolvem as funções seno e cosseno.

Exemplo: Resolvendo sen(θ) = 0,5

Encontre os valores de θ para os quais sen(θ) = 0,5:

sen(θ) = 0,5

Como a função seno é periódica com um período de 360° ou 2π radianos, procuramos ângulos que tenham um valor seno de 0,5. Lembre-se que:

  • sen(30°) = 0,5
  • sen(150°) = 0,5

Isso seria traduzido em medida de radianos da seguinte forma:

  • sen(π/6) = 0,5
  • sen(5π/6) = 0,5

Assim, a solução geral pode ser escrita como:

θ = 30° + 360°n ou θ = 150° + 360°n onde n é um inteiro.

Em radianos, isso se torna:

θ = π/6 + 2πn ou θ = 5π/6 + 2πn onde n é um inteiro.

Exemplo visual

θ = 30° θ = 150°

2. Equação básica de tangente

Outro tipo de equação trigonométrica envolve a função tangente. Essas equações geralmente precisam ser resolvidas na seguinte forma:

tan(θ) = a

Exemplo: Resolvendo tan(θ) = √3

Vamos resolver tan(θ) = √3:

tan(θ) = √3

Recordando do círculo unitário:

  • tan(60°) = √3
  • O período da tangente é 180° ou π radianos.

A solução geral é esta:

θ = 60° + 180°n em graus, ou θ = π/3 + πn em radianos, onde n é um inteiro.

Exemplo visual

θ = 60°

Equações trigonométricas complexas

Equações trigonométricas mais complexas podem envolver combinações de funções, transformações ou coeficientes.

1. Combinação de seno e cosseno

Às vezes, as equações envolvem uma combinação de seno e cosseno:

a*sin(θ) + b*cos(θ) = c

Exemplo

Resolva a equação 2*sin(θ) + 3*cos(θ) = 1.

Estratégias para resolver tais equações frequentemente envolvem o uso de identidades ou métodos como reduzir a equação a uma única função trigonométrica ou usar ângulos auxiliares.

2. Usando identidade

Identidades trigonométricas podem simplificar ou ajudar na resolução de equações:

  • Identidade pitagórica: sen²(θ) + cos²(θ) = 1
  • Fórmula do ângulo duplo: sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ), cos(2θ) = cos²(θ) - sen²(θ)
  • Fórmulas de soma para produto e de multiplicação para soma

Abordagens e técnicas

Ao resolver equações trigonométricas, vários métodos podem ser aplicáveis:

1. Fatoração

Fatorem a equação para encontrar soluções possíveis. Por exemplo:

2*sen²(θ) - sen(θ) = 0

A fatoração resulta em:

sen(θ)(2*sen(θ) - 1) = 0

isso implica:

  • sen(θ) = 0
  • 2*sen(θ) - 1 = 0 ➔ sen(θ) = 0,5

Que podem ser resolvidos usando soluções básicas.

2. Substituição

Às vezes, atribuir o termo trigonométrico igual a uma variável pode simplificar as equações.

3. Solução gráfica

Isso inclui analisar os gráficos das funções trigonométricas ou usar uma calculadora gráfica para identificar pontos de interseção.

4. Solução por intervalo

Como as funções trigonométricas se repetem a cada 360° ou 2π radianos, a solução pode ser descrita ao longo do intervalo especificado.

Conclusão

Resolver equações trigonométricas é uma habilidade que se desenvolve através da compreensão das funções trigonométricas, das identidades e da periodicidade. Ao dominar essas técnicas, é possível resolver essas equações de forma sistemática, levando a soluções aplicáveis em vários contextos matemáticos e além.


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Resolvendo equações trigonométricas

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