Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Тригонометрия ↓


Тригонометрические отношения и идентичности


Тригонометрия — это раздел математики, изучающий отношения, связанные с длинами и углами треугольников. Эта область возникла в III веке до н.э. из приложений геометрии к астрономическим исследованиям. Тригонометрия — это изучение треугольников с акцентом на прямоугольные треугольники, где один угол составляет 90 градусов.

В контексте прямоугольного треугольника основное внимание уделяется отношениям и свойствам трех основных компонентов: сторон, углов и тригонометрических отношений, которые их связывают.

Понимание основ прямоугольных треугольников

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол равен ровно 90 градусам, называемый прямым углом. Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, которая также является самой длинной стороной прямоугольного треугольника. Другие две стороны называются катетами, которые мы часто обозначаем как прилежащую и противолежащую стороны относительно данного угла, отличного от прямого угла.

Визуальный пример прямоугольного треугольника

A B C Угол

В приведённом выше треугольнике угол в точке B является прямым углом. Отрезок AC — гипотенуза, в то время как AB и BC — катеты треугольника.

Тригонометрические отношения

Тригонометрические отношения используются для связи углов и сторон прямоугольного треугольника. Эти отношения являются основополагающими в тригонометрии и включают синус, косинус и тангенс. Каждое из этих отношений определяется относительно конкретного угла в прямоугольном треугольнике.

1. Синус

Синус угла θ в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.

sin(θ) = противолежащая сторона / гипотенуза

Пример 1:

Если угол θ находится в вершине A, BC — противолежащая сторона к углу θ, а AC — гипотенуза. Если BC = 5 и AC = 13, тогда:

sin(θ) = 5 / 13

2. Косинус

Косинус угла θ в прямоугольном треугольнике — это отношение длины прилежащего катета к гипотенузе.

cos(θ) = прилежащая сторона / гипотенуза

Пример 2:

Если угол θ находится в вершине A, то AB — это прилежащая сторона угла θ, а AC — гипотенуза. Если AB = 12 и AC = 13, тогда:

cos(θ) = 12 / 13

3. Тангенс

Тангенс угла θ в прямоугольном треугольнике — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

tan(θ) = противолежащая сторона / прилежащая сторона

Пример 3:

Если угол θ находится в вершине A, BC — противолежащая сторона и AB — прилежащая сторона угла θ. Если BC = 5 и AB = 12, тогда:

tan(θ) = 5 / 12

Другие тригонометрические отношения

4. Косеканс

Косеканс угла θ является обратной величиной синуса θ.

csc(θ) = 1/sin(θ) = гипотенуза / противолежащая сторона

5. Секанс

Секанс угла θ является обратной величиной косинуса угла θ.

sec(θ) = 1/cos(θ) = гипотенуза / прилежащая сторона

6. Котангенс

Котангенс угла θ является обратной величиной тангенса θ.

cot(θ) = 1/tan(θ) = прилежащая сторона / противолежащая сторона

Основные тригонометрические идентичности

Тригонометрические идентичности — это уравнения, которые верны для всех значений переменных. Знание этих идентичностей помогает в решении сложных тригонометрических уравнений и понимании отношений между различными тригонометрическими функциями.

Пифагорейская идентичность

Одна из важнейших тригонометрических идентичностей — пифагорейская идентичность, связывающая синус и косинус. Эта идентичность утверждает:

sin²(θ) + cos²(θ) = 1

Эта идентичность следует из теоремы Пифагора при рассмотрении единичной окружности.

Обратные идентичности

Обратные идентичности выводятся из определения тригонометрических отношений. Они помогают выражать функции через их обратные:

csc(θ) = 1/sin(θ) sec(θ) = 1/cos(θ) cot(θ) = 1/tan(θ)

Идентичности частного

Идентичности частного связывают тангенс и котангенс с синусом и косинусом:

tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) cot(θ) = cos(θ)/sin(θ)

Тригонометрические отношения для определенных углов

В тригонометрии часто используются определенные углы, для которых тригонометрические отношения имеют простые значения. Эти углы включают 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Тригонометрические отношения для 45°

Если рассмотреть прямоугольный треугольник, где каждый не прямой угол равен 45°. Используя концепцию равнобедренного прямоугольного треугольника, мы можем определить:

sin(45°) = cos(45°) = √2/2 tan(45°) = 1

Тригонометрические отношения для 30° и 60°

Рассмотрим равносторонний треугольник, разделенный на два прямоугольных треугольника. Отношения следующие:

sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = 1/√3 sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3

Использование тригонометрии: Реальные приложения

Тригонометрия не только теоретическая; она имеет практическое применение в различных областях, таких как физика, инженерия и астрономия. Ниже приведены некоторые примеры использования тригонометрических концепций в реальной жизни.

Пример 4: Расчет высоты

Чтобы найти высоту здания, не измеряя её напрямую, можно измерить угол возвышения с определенного расстояния:

  • Пусть расстояние от здания равно d = 50 м.
  • Угол возвышения от этой точки до вершины здания составляет θ = 30°.
    • tan(θ) = высота / расстояние Высота = Расстояние × tan(θ) = 50 × tan(30°) = 50 × (1/√3)

    Таким образом, высота здания составляет примерно 28.87 метра.

Понимая и применяя эти тригонометрические отношения и идентичности, можно получить глубокое понимание как математической теории, так и повседневных практических задач. Тригонометрия, хотя и сложная, открывает путь к многим новым способам мышления о формах, пространствах и расстояниях.


Класс 11 → 3.1


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (3)
Тригонометрия
следующая (3.1.1) →
Основные тригонометрические отношения

комментарии 



Тригонометрические отношения и идентичности

https://www.buddymath.com/g11/3.1?bmal=ru