11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

11º ano → Trigonometria ↓


Razões e identidades trigonométricas


Trigonometria é um ramo da matemática que estuda as relações envolvendo os comprimentos e ângulos de triângulos. O campo surgiu durante o século III a.C. a partir de aplicações da geometria para estudos astronômicos. Trigonometria é o estudo dos triângulos; com ênfase nos triângulos retângulos, onde um ângulo é de 90 graus.

No contexto de um triângulo retângulo, o foco principal está nas relações e propriedades dos três componentes principais: os lados, os ângulos e as razões trigonométricas que os relacionam.

Compreendendo o básico dos triângulos retângulos

Um triângulo retângulo é um triângulo em que um ângulo é exatamente de 90 graus, chamado de ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa, que também é o lado mais longo de um triângulo retângulo. Os outros dois lados são chamados de catetos, que muitas vezes nos referimos como lado adjacente e lado oposto em relação a um determinado ângulo além de um ângulo reto.

Exemplo visual de um triângulo retângulo

A B C Ear

No triângulo acima, o ângulo no ponto B é um ângulo reto. O segmento de linha AC é a hipotenusa, enquanto AB e BC são os catetos do triângulo.

Razões trigonométricas

As razões trigonométricas são usadas para relacionar os ângulos e lados de um triângulo retângulo. Essas razões são fundamentais na trigonometria e incluem seno, cosseno e tangente. Cada uma dessas razões é definida com base em um ângulo específico em um triângulo retângulo.

1. Seno

O seno de um ângulo θ em um triângulo retângulo é definido como a razão entre o comprimento do lado oposto ao ângulo e o comprimento da hipotenusa.

sin(θ) = lado oposto/hipotenusa

Exemplo 1:

Se o ângulo θ está no vértice A, BC é o lado oposto ao ângulo θ, e AC é a hipotenusa. Se BC = 5 e AC = 13, então:

sin(θ) = 5 / 13

2. Cosseno

O cosseno do ângulo θ em um triângulo retângulo é a razão entre o comprimento do lado adjacente e a hipotenusa.

cos(θ) = lado adjacente / hipotenusa

Exemplo 2:

Se o ângulo θ está no vértice A, então AB é o lado adjacente do ângulo θ, e AC é a hipotenusa. Se AB = 12 e AC = 13, então:

cos(θ) = 12 / 13

3. Tangente

A tangente do ângulo θ em um triângulo retângulo é a razão entre o comprimento do lado oposto e o comprimento do lado adjacente.

tan(θ) = lado oposto / lado adjacente

Exemplo 3:

Se o ângulo θ está no vértice A, BC é o lado oposto e AB é o lado adjacente do ângulo θ. Se BC = 5 e AB = 12, então:

tan(θ) = 5 / 12

Outras razões trigonométricas

4. Cossecante

A cossecante do ângulo θ é o inverso do seno de θ.

csc(θ) = 1/sin(θ) = hipotenusa/lado oposto

5. Secante

A secante do ângulo θ é o inverso do cosseno do ângulo θ.

sec(θ) = 1/cos(θ) = hipotenusa/lado adjacente

6. Cotangente

A cotangente do ângulo θ é o inverso da tangente de θ.

cot(θ) = 1/tan(θ) = lado adjacente / lado oposto

Identidades trigonométricas fundamentais

Identidades trigonométricas são equações que são verdadeiras para todos os valores das variáveis envolvidas. Conhecer essas identidades ajuda a resolver equações trigonométricas complexas e entender as relações entre diferentes funções trigonométricas.

Identidade de Pitágoras

Uma das identidades trigonométricas mais importantes é a identidade de Pitágoras, que conecta seno e cosseno. Esta identidade afirma:

sin²(θ) + cos²(θ) = 1

Esta identidade decorre do teorema de Pitágoras ao considerar um círculo unitário.

Identidades recíprocas

Identidades recíprocas são derivadas das definições das razões trigonométricas. Elas ajudam a expressar funções em termos de seus recíprocos:

csc(θ) = 1/sin(θ) sec(θ) = 1/cos(θ) cot(θ) = 1/tan(θ)

Identidades de quociente

As identidades de quociente relacionam tangente e cotangente ao seno e cosseno:

tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) cot(θ) = cos(θ)/sin(θ)

Razões trigonométricas de ângulos específicos

Na trigonometria, ângulos específicos são frequentemente usados para os quais as razões trigonométricas têm valores simples. Estes incluem ângulos como 0°, 30°, 45°, 60° e 90°.

Razões trigonométricas para 45°

Se considerarmos um triângulo retângulo, onde cada ângulo que não é reto é 45°. Usando o conceito de um triângulo retângulo isósceles, podemos determinar:

sin(45°) = cos(45°) = √2/2 tan(45°) = 1

Razões trigonométricas para 30° e 60°

Considere um triângulo equilátero dividido em dois triângulos retângulos. As razões são as seguintes:

sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = 1/√3 sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3

Usando trigonometria: Aplicações no mundo real

A trigonometria não é apenas teórica; ela tem aplicações práticas em vários campos como física, engenharia e astronomia. Abaixo estão alguns exemplos de como conceitos trigonométricos são usados em cenários da vida real.

Exemplo 4: Calculando altura

Para encontrar a altura de um edifício sem medi-la diretamente, o ângulo de elevação pode ser medido a partir de uma certa distância:

  • Que a distância do edifício seja d = 50 m.
  • O ângulo de elevação deste ponto até o topo do edifício é θ = 30°.
    • tan(θ) = altura / distância Altura = Distância × tan(θ) = 50 × tan(30°) = 50 × (1/√3)

    Assim, a altura do edifício é aproximadamente 28,87 metros.

Através da compreensão e aplicação dessas razões e identidades trigonométricas, pode-se obter um entendimento profundo tanto da teoria matemática quanto dos problemas práticos do dia a dia. A trigonometria, embora complexa, abre a porta para muitas novas maneiras de pensar sobre formas, espaços e distâncias.


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Razões e identidades trigonométricas

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