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त्रिकोणमितीय अनुपात और पहचान
त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है जो त्रिकोणों की लंबाई और कोणों से संबंधित संबंधों का अध्ययन करती है। इस क्षेत्र की उत्पत्ति 3rd शताब्दी ईसा पूर्व में खगोल अध्ययन के लिए ज्यामिति के अनुप्रयोगों के दौरान हुई। त्रिकोणमिति त्रिकोणों का अध्ययन है; विशेष रूप से समकोण त्रिकोणों पर जोर देता है, जहाँ एक कोण 90 डिग्री होता है।
समकोण त्रिकोण के संदर्भ में, मुख्य ध्यान तीन मुख्य घटकों के संबंधों और गुणों पर है: भुजाएँ, कोण और त्रिकोणमितीय अनुपात जो उन्हें संबंधित करते हैं।
समकोण त्रिकोणों की मूल बातें समझना
एक समकोण त्रिकोण वह त्रिकोण होता है जिसमें एक कोण ठीक 90 डिग्री का होता है, जिसे समकोण कहा जाता है। समकोण के विपरीत भुजा को कर्ण कहा जाता है, जो किसी समकोण त्रिकोण की सबसे लंबी भुजा होती है। अन्य दो भुजाएँ 'पार्श्विक भुजा' और 'समकोण के कोण के सापेक्ष विपरीत भुजा' के रूप में जानी जाती हैं।
समकोण त्रिकोण का दृश्य उदाहरण
ऊपर के त्रिकोण में, बिंदु B पर कोण समकोण है। रेखा खंड AC कर्ण है, जबकि AB और BC त्रिकोण की भुजाएँ हैं।
त्रिकोणमितीय अनुपात
त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग समकोण त्रिकोण की कोणों और भुजाओं को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। ये अनुपात त्रिकोणमिति में मौलिक हैं और इनमें साइन, कोसाइन, और टैन्जेंट शामिल हैं। ये प्रत्येक को एक विशिष्ट कोण के आधार पर परिभाषित किया जाता है।
1. साइन
समकोण त्रिकोण में कोण θ का साइन परिभाषित होता है विपरीत भुजा की लंबाई का कर्ण की लंबाई के अनुपात के रूप में।
sin(θ) = विपरीत भुजा/कर्ण
उदाहरण 1:
यदि कोण θ शीर्ष A पर है, BC कोण θ के विपरीत भुजा है, और AC कर्ण है। यदि BC = 5 और AC = 13, तो:
sin(θ) = 5 / 13
2. कोसाइन
समकोण त्रिकोण में कोण θ का कोसाइन परिभाषित होता है परासन्न भुजा की लंबाई का कर्ण के अनुपात के रूप में।
cos(θ) = परासन्न भुजा / कर्ण
उदाहरण 2:
यदि कोण θ शीर्ष A पर है, तो AB कोण θ के परासन्न भुजा है, और AC कर्ण है। यदि AB = 12 और AC = 13, तो:
cos(θ) = 12 / 13
3. टैन्जेंट
समकोण त्रिकोण में कोण θ का टैन्जेंट परिभाषित होता है विपरीत भुजा की लंबाई का परासन्न भुजा की लंबाई के अनुपात के रूप में।
tan(θ) = विपरीत भुजा / परासन्न भुजा
उदाहरण 3:
यदि कोण θ शीर्ष A पर है, BC विपरीत भुजा है और AB कोण θ की परासन्न भुजा है। यदि BC = 5 और AB = 12, तो:
tan(θ) = 5 / 12
अन्य त्रिकोणमितीय अनुपात
4. कोसेकेंट
कोण θ का कोसेकेंट θ के साइन का उल्टा होता है।
csc(θ) = 1/sin(θ) = कर्ण/विपरीत भुजा
5. सेकेंट
कोण θ का सेकेंट θ के कोसाइन का उल्टा होता है।
sec(θ) = 1/cos(θ) = कर्ण/परासन्न भुजा
6. कोटैन्जेंट
कोण θ का कोटैन्जेंट θ के टैन्जेंट का उल्टा होता है।
cot(θ) = 1/tan(θ) = परासन्न भुजा / विपरीत भुजा
मौलिक त्रिकोणमितीय पहचान
त्रिकोणमितीय पहचान वे समीकरण हैं जो शामिल चर के सभी मानों के लिए सत्य होते हैं। इन पहचान को जानकर हम जटिल त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान कर सकते हैं और विभिन्न त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच संबंधों को समझ सकते हैं।
पाइथागॉरियन पहचान
सबसे महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय पहचान में से एक पाइथागॉरियन पहचान है, जो साइन और कोसाइन को जोड़ती है। यह पहचान कहती है:
sin²(θ) + cos²(θ) = 1
यह पहचान युनिट वृत्त के संदर्भ में पाइथागॉरियन प्रमेय से उत्पन्न होती है।
व्युत्क्रम पहचान
व्युत्क्रम पहचान त्रिकोणमितीय अनुपातों की परिभाषाओं से उत्पन्न होती है। ये पहचान कार्यों को उनके व्युत्क्रम के रूप में व्यक्त करने में मदद करती हैं:
csc(θ) = 1/sin(θ) sec(θ) = 1/cos(θ) cot(θ) = 1/tan(θ)
भागफल पहचान
भागफल पहचान टैन्जेंट और कोटैन्जेंट को साइन और कोसाइन से जोड़ती हैं:
tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) cot(θ) = cos(θ)/sin(θ)
विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात
त्रिकोणमिति में, कुछ विशिष्ट कोणों का अक्सर उपयोग किया जाता है जिनके लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों के सरल मान होते हैं। इनमें 0°, 30°, 45°, 60°, और 90° जैसे कोण शामिल होते हैं।
45° के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात
यदि हम एक समकोण त्रिकोण मानें, जहां प्रत्येक समकोण 45° होता है। एक समद्विबाहु समकोण त्रिकोण की अवधारणा का उपयोग करके, हम निर्धारित कर सकते हैं:
sin(45°) = cos(45°) = √2/2 tan(45°) = 1
30° और 60° के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात
एक समबहु त्रिकोण को दो समकोण त्रिकोणों में विभाजित करें। अनुपात इस प्रकार होते हैं:
sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = 1/√3 sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3
त्रिकोणमिति का उपयोग: वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग
त्रिकोणमिति केवल सैद्धांतिक नहीं है; इसका विभिन्न क्षेत्रों जैसे भौतिकी, इंजीनियरिंग, और खगोलशास्त्र में व्यावहारिक अनुप्रयोग है। निचे दिए गए कुछ उदाहरण कैसे त्रिकोणमितीय अवधारणाओं का उपयोग असली जीवन के परिदृश्यों में किया जाता है।
उदाहरण 4: ऊंचाई की गणना
बिना सीधे मापे इमारत की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, उद्धारण कोण को किसी निश्चित दूरी से मापा जा सकता है:
- इमारत से दूरी को
d = 50मीटर मानें। - इस बिंदु से इमारत के शीर्ष तक का उद्धारण कोण
θ = 30°है।
tan(θ) = ऊंचाई / दूरी ऊंचाई = दूरी × tan(θ) = 50 × tan(30°) = 50 × (1/√3)
इस तरह, इमारत की ऊंचाई लगभग 28.87 मीटर होती है।
इन त्रिकोणमितीय अनुपातों और पहचानों को समझकर और लागू करके, कोई गणितीय सिद्धांत और दैनिक व्यावहारिक समस्याओं दोनों में गहरी अंतर्दृष्टि प्राप्त कर सकता है। त्रिकोणमिति, यद्यपि जटिल है, आकार, स्थान, और दूरियों के बारे में सोचने के कई नए तरीके खोलता है।
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