Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

Grado 11 → Trigonometría ↓


Relaciones e identidades trigonométricas


La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones que involucran las longitudes y ángulos de los triángulos. Este campo surgió durante el siglo III a.C. a partir de aplicaciones de la geometría a los estudios astronómicos. La trigonometría es el estudio de los triángulos, con un énfasis en los triángulos rectángulos, donde un ángulo es de 90 grados.

En el contexto de un triángulo rectángulo, el enfoque principal está en las relaciones y propiedades de los tres componentes principales: los lados, los ángulos y las razones trigonométricas que los relacionan.

Entendiendo lo básico de los triángulos rectángulos

Un triángulo rectángulo es un triángulo en el cual un ángulo es exactamente 90 grados, llamado ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa, que es también el lado más largo de un triángulo rectángulo. Los otros dos lados se llaman catetos, a los que a menudo nos referimos como el lado adyacente y el lado opuesto en relación a un ángulo dado que no sea un ángulo recto.

Ejemplo visual de un triángulo rectángulo

A B C Oído

En el triángulo anterior, el ángulo en el punto B es un ángulo recto. El segmento de línea AC es la hipotenusa, mientras que AB y BC son los catetos del triángulo.

Razones trigonométricas

Las razones trigonométricas se utilizan para relacionar los ángulos y lados de un triángulo rectángulo. Estas razones son fundamentales en la trigonometría e incluyen seno, coseno y tangente. Cada una de estas razones se define en base a un ángulo específico en un triángulo rectángulo.

1. Seno

El seno de un ángulo θ en un triángulo rectángulo se define como la relación entre la longitud del lado opuesto al ángulo y la longitud de la hipotenusa.

sen(θ) = lado opuesto/hipotenusa

Ejemplo 1:

Si el ángulo θ está en el vértice A, BC es el lado opuesto al ángulo θ, y AC es la hipotenusa. Si BC = 5 y AC = 13, entonces:

sen(θ) = 5 / 13

2. Coseno

El coseno del ángulo θ en un triángulo rectángulo es la relación entre la longitud del lado adyacente y la hipotenusa.

cos(θ) = lado adyacente / hipotenusa

Ejemplo 2:

Si el ángulo θ está en el vértice A, entonces AB es el lado adyacente al ángulo θ, y AC es la hipotenusa. Si AB = 12 y AC = 13, entonces:

cos(θ) = 12 / 13

3. Tangente

La tangente del ángulo θ en un triángulo rectángulo es la relación entre la longitud del lado opuesto y la longitud del lado adyacente.

tan(θ) = lado opuesto / lado adyacente

Ejemplo 3:

Si el ángulo θ está en el vértice A, BC es el lado opuesto y AB es el lado adyacente al ángulo θ. Si BC = 5 y AB = 12, entonces:

tan(θ) = 5 / 12

Otras razones trigonométricas

4. Cosecante

La cosecante del ángulo θ es el inverso del seno de θ.

csc(θ) = 1/sen(θ) = hipotenusa/lado opuesto

5. Secante

La secante del ángulo θ es el inverso del coseno del ángulo θ.

sec(θ) = 1/cos(θ) = hipotenusa/lado adyacente

6. Cotangente

La cotangente del ángulo θ es el inverso de la tangente de θ.

cot(θ) = 1/tan(θ) = lado adyacente / lado opuesto

Identidades trigonométricas fundamentales

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que son verdaderas para todos los valores de las variables involucradas. Conocer estas identidades ayuda a resolver ecuaciones trigonométricas complejas y a comprender las relaciones entre diferentes funciones trigonométricas.

Identidad pitagórica

Una de las identidades trigonométricas más importantes es la identidad pitagórica, que conecta seno y coseno. Esta identidad establece:

sen²(θ) + cos²(θ) = 1

Esta identidad se deriva del teorema de Pitágoras al considerar un círculo unitario.

Identidades recíprocas

Las identidades recíprocas se derivan de las definiciones de razones trigonométricas. Ayudan a expresar funciones en términos de sus recíprocas:

csc(θ) = 1/sen(θ) sec(θ) = 1/cos(θ) cot(θ) = 1/tan(θ)

Identidades de cociente

Las identidades de cociente relacionan tangente y cotangente con seno y coseno:

tan(θ) = sen(θ)/cos(θ) cot(θ) = cos(θ)/sen(θ)

Razones trigonométricas de ángulos específicos

En trigonometría, a menudo se utilizan ángulos específicos para los cuales las razones trigonométricas tienen valores simples. Estos incluyen ángulos como 0°, 30°, 45°, 60° y 90°.

Razones trigonométricas para 45°

Si consideramos un triángulo rectángulo donde cada ángulo no recto es 45°. Usando el concepto de un triángulo rectángulo isósceles, podemos determinar:

sen(45°) = cos(45°) = √2/2 tan(45°) = 1

Razones trigonométricas para 30° y 60°

Consideremos un triángulo equilátero dividido en dos triángulos rectángulos. Las razones son las siguientes:

sen(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = 1/√3 sen(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3

Uso de la trigonometría: Aplicaciones en el mundo real

La trigonometría no es solo teórica; tiene aplicaciones prácticas en varios campos como la física, la ingeniería y la astronomía. A continuación, se presentan algunos ejemplos de cómo los conceptos trigonométricos se utilizan en escenarios de la vida real.

Ejemplo 4: Calcular la altura

Para encontrar la altura de un edificio sin medirlo directamente, se puede medir el ángulo de elevación desde cierta distancia:

  • Supongamos que la distancia al edificio es d = 50 m.
  • El ángulo de elevación desde este punto hasta la parte superior del edificio es de θ = 30°.
    • tan(θ) = altura / distancia Altura = Distancia × tan(θ) = 50 × tan(30°) = 50 × (1/√3)

    Así, la altura del edificio es aproximadamente 28.87 metros.

A través de entender y aplicar estas razones e identidades trigonométricas, se puede obtener una comprensión profunda tanto de la teoría matemática como de problemas prácticos cotidianos. La trigonometría, aunque compleja, abre la puerta a muchas nuevas formas de pensar sobre formas, espacios y distancias.


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