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गुणोत्तर-योग और योग-प्रति-गुणा सूत्र
त्रिकोणमिति को समझना विभिन्न संक्रियाएँ और सूत्र समझने में शामिल है जो जटिल त्रिकोणमितीय व्यंजनों को सरल करने में मदद करते हैं। इनमें, गुणोत्तर-योग और योग-प्रति-गुणा सूत्र शक्तिशाली उपकरण हैं जो गुणनों को योग में और इसके विपरीत बदलने में मदद करते हैं, जिससे गणनाएँ अधिक प्रबंधनीय बनती हैं।
स्रोतों का परिचय
त्रिकोणमिति में, कई संक्रियाएँ और सूत्र एक-दूसरे से संबंधित हो सकते हैं। दो ऐसे संबंधों के समूह में sine और cosine के गुणन को योग में परिवर्तित करना और एक योग को गुणन में बदलना शामिल है।
गुणोत्तर-योग सूत्र
ये सूत्र तब उपयोगी होते हैं जब हमारे पास sine और cosine संक्रियाओं का गुणन होता है, और हम उन्हें एक योग के रूप में व्यक्त करना चाहते हैं। यहाँ चार मुख्य गुणन-से-योग सूत्र हैं:
sin(a) * cos(b) = (1/2) [sin(a + b) + sin(a - b)] cos(a) * sin(b) = (1/2) [sin(a + b) - sin(a - b)] cos(A) * cos(B) = (1/2) [cos(A + B) + cos(A - B)] sin(a) * sin(b) = -(1/2) [cos(a + b) - cos(a - b)]
योग-से-गुणा सूत्र
दूसरी ओर, योग-प्रति-गुणा सूत्र तब उपयोगी होते हैं जब त्रिकोणमितीय संक्रियाओं को जोड़ते या घटाते समय उन्हें गुणन के रूप में व्यक्त करने की आवश्यकता होती है। यहाँ मुख्य सूत्र हैं:
sin(a) + sin(b) = 2 * sin((a + b)/2) * cos((a - b)/2) sin(a) - sin(b) = 2 * cos((a + b)/2) * sin((a - b)/2) cos(A) + cos(B) = 2 * cos((A + B)/2) * cos((A - B)/2) cos(a) - cos(b) = -2 * sin((a + b)/2) * sin((a - b)/2)
दृश्य उदाहरण
गुणोत्तर-योग समझने का दृश्यरण
हम पहले गुणोत्तर-योग सूत्र का उपयोग करके यह देखेंगे कि यह एक उदाहरण के साथ कैसे बदलता है: sin(A) * cos(B) जहाँ A = 30° और B = 45°।
sin(30°) * cos(45°) = (1/2) [sin(30° + 45°) + sin(30° - 45°)]
आरेख त्रिकोण या वृत के प्रतिरूपण पर कोण दिखाकर संबंध को प्रतिष्ठित करने में मदद करता है। गणना उद्देश्यों के लिए, समीकरण का उपयोग समस्या को सरल बना सकता है, मूलतः गुणन को योग में तोड़कर, जिसे सीधे गणना करना सरल हो सकता है।
योग-से-गुणा प्रयोग का चित्रण
अब sin(A) + sin(B) योग-से-गुणा सूत्र पर विचार करें। जहाँ A = 60° और B = 30°।
sin(60°) + sin(30°) = 2 * sin((60° + 30°)/2) * cos((60° - 30°)/2)
यह समीकरण दिखाता है कि कैसे एक जटिल प्रतीत होने वाले जोड़ संक्रिया को गुणन संक्रिया में सरल बनाया गया है। यह तब उपयोगी होता है जब इंटीगर की गणना करते हैं या आगे की गणनाओं के लिए व्यक्तियों को सरल बनाते हैं।
अनुप्रयोग और उदाहरण
अगले, चलिए कुछ अतिरिक्त उदाहरणों के माध्यम से अपनी समझ को ठोस करते हैं और पहचानते हैं कि ये संक्रियाएँ त्रिकोणमितीय संक्रियाओं को अधिक प्रबंधनीय और सरल कैसे बना सकती हैं।
उदाहरण 1: व्यंजनों का सरलीकरण
मान लीजिए कि आपको निम्नलिखित व्यंजन को सरलीकरण करने का कार्य सौंपा गया है:
2sin(90°)cos(45°)
गुणोत्तर-से-योग सूत्र का उपयोग करते हुए:
2sin(90°)cos(45°) = 2 * (1/2) [sin(90° + 45°) + sin(90° - 45°)]
= sine(135°) + sine(45°)
गुणन के बजाय, समीकरण अब एक योग है जिसे आप सीधे सरल त्रिकोणमितीय मूल्यों का उपयोग करके मूल्यांकन कर सकते हैं।
उदाहरण 2: त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना
विचार करें कि यह त्रिकोणमितीय समीकरण:
cos(x) - cos(2x) = 0
योग-प्रति-गुणा पहचान का उपयोग करके, व्यंजन को फिर से लिखें:
cos(x) - cos(2x) = -2sin((x + 2x)/2)sin((x - 2x)/2)
= -2sin((3x)/2)sin((-x)/2) = 0
यह समीकरण बताता है कि या तो sin((3x)/2) = 0 या sin((-x)/2) = 0 इन मूलभूत सरल sine समीकरणों को हल करना आपको x के लिए संभावित समाधान दे सकता है एक सरल या अधिक दृश्य रूप में।
निष्कर्ष
गुणोत्तर-से-योग और योग-प्रति-गुणा सूत्र त्रिकोणमिति के जटिल और अद्भुत घटक हैं, जो अन्यथा जटिल त्रिकोणमितीय गणनाओं को आकर्षक रूप से सरल बनाते हैं। जब वास्तविक दुनिया की समस्याओं या सैद्धांतिक व्युत्पन्नों से निपटते हैं, इन संबंधों को पहचानना अमूल्य हो जाता है, प्रक्रियाओं को सरल बनाना जैसे कि समाकलन या तरंग पैटर्न का विश्लेषण।
इन संक्रियाओं की गहराई का पता लगाएं विभिन्न कोण संयोजनों को आजमाकर यह समझने के लिए कि कैसे ये संबंध त्रिकोणमितीय गणन और विश्लेषण की नींव का निर्माण करते हैं।
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