Понимание формул половинного угла в тригонометрии

Формулы половинного угла в тригонометрии являются чрезвычайно полезными инструментами, которые позволяют находить тригонометрические значения половинных углов, используя известные значения полных углов. Эти формулы выводятся из формул двойного угла и играют центральную роль в решении различных тригонометрических задач, особенно тех, которые связаны с интегрированием или решением тригонометрических уравнений.

Для понимания формул половинного угла требуется знакомство с базовыми тригонометрическими тождествами, такими как тождества Пифагора, формула двойного угла и основные тригонометрические функции: синус, косинус и тангенс.

Базовые тригонометрические тождества

Перед тем как углубиться в формулы половинного угла, давайте кратко резюмируем некоторые основные тождества:

• Тождество Пифагора:

  sin2(θ) + cos2(θ) = 1

• Формула двойного угла:

  sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) cos(2θ) = cos2(θ) - sin2(θ) = 2cos2(θ) - 1 = 1 - 2sin2(θ)

• Основные тригонометрические функции:

  sin(θ), cos(θ), tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла можно вывести из формул двойного угла. Идея заключается в том, чтобы выразить один угол как половину другого. Формулы половинного угла для синуса, косинуса и тангенса выглядят следующим образом:

• Формула половинного угла для синуса:

  sin(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/2)

• Формула половинного угла для косинуса:

  cos(θ/2) = ±√((1 + cos(θ))/2)

• Формула половинного угла для тангенса:

  tan(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/(1 + cos(θ))) или tan(θ/2) = sin(θ)/(1 + cos(θ)) или tan(θ/2) = (1 - cos(θ))/sin(θ)

Знак ± в этих формулах определяется в зависимости от четверти, в которой находится полученный угол. Помните, что каждая тригонометрическая функция может быть положительной или отрицательной в зависимости от четверти:

• Первая четверть: sin, cos, tan положительные
• Вторая четверть: Синус положителен
• Третья четверть: тангенс положителен
• Четвертая четверть: косинус положителен

Визуальный пример

Чтобы лучше понять концепцию половинного угла, давайте рассмотрим единичную окружность. Представьте угол θ на единичной окружности. Угол θ/2 будет находиться между началом координат (0 градусов) и углом θ. Формула половинного угла позволяет предсказать синус, косинус и тангенс этого угла θ/2 на основе координат или угла, которые могут быть визуально представлены на единичной окружности.

В приведенной выше диаграмме предположим, что θ равно 60 градусам, поэтому его половина θ/2 равна 30 градусам. Мы можем видеть это визуально и рассчитать значения sin, cos и tan для этих углов, используя формулы половинного угла.

Например, найдите синус 30 градусов, используя косинус 60 градусов:

cos(60) = 1/2 sin(30) = √((1 - 1/2)/2) = √(1/4) = 1/2

Примеры использования формул половинного угла на практике

Давайте выполним несколько упражнений, чтобы четко понять, как работают формулы половинного угла:

Пример 1: Найти sin(75°)

Угол 75° не является стандартным углом. Однако мы можем выразить его следующим образом:

75° = 150° / 2

Используя косинус 150°, который равен -√3/2, получаем:

cos(150°) = -√3/2 sin(75°) = √((1 + cos(150°))/2) = √((1 - √3/2)/2) = √((2 - √3)/4)

Это выражение дает значение sin(75°) непосредственно без необходимости дальнейшего преобразования.

Пример 2: Найти tan(22.5°)

Мы используем тот факт, что 22.5° - это половина 45°. Используем формулу:

tan(θ/2) = (1 - cos(θ)) / sin(θ)

Здесь θ = 45°, cos(45°) = √2/2, а sin(45°) = √2/2.

tan(22.5°) = (1 - √2/2) / (√2/2) = (2 - √2)/√2 = √2 (2 - √2) / 2 = (2√2 - 2) / 2

Как выбрать правильный знак

Как уже упоминалось, знак (±) в формулах половинного угла зависит от четверти, в которой находится θ/2. Учитывайте свойства изначальной четверти угла и единичной окружности. Как это сделать:

• Первая четверть: Если θ находится во второй четверти, то θ/2 будет в первой четверти, и все тригонометрические функции положительны.
• Вторая четверть: Если θ находится в третьей четверти, то θ/2 будет во второй четверти, где синус положителен, косинус и тангенс отрицательны.
• Третья четверть: Если θ находится в четвертой четверти, то θ/2 будет в третьей четверти, где тангенс положителен, синус и косинус отрицательны.
• Четвертая четверть: Если θ находится в первой четверти, то θ/2 будет в четвертой четверти, где косинус положителен, синус и тангенс отрицательны.

Всегда представляйте, где находится θ/2 на единичной окружности, или используйте известные угловые значения для определения правильного знака.

Заключение

Формулы половинного угла важны для упрощения тригонометрических выражений и решения интегралов. Владение их использованием и понимание того, когда применять какой знак, важно для решения тригонометрических задач. Чтобы достичь беглости в использовании формул половинного угла, практикуйтесь с различными углами и старайтесь применять эти углы, встречающиеся в различных тригонометрических функциях.

Через многократную практику и применение эти формулы станут неотъемлемой частью вашего арсенала тригонометрии.

комментарии