11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria


As fórmulas de meia-ângulo na trigonometria são ferramentas extremamente úteis que nos permitem encontrar os valores trigonométricos de meias-angulações usando valores conhecidos de ângulos completos. Essas fórmulas são derivadas das identidades de ângulo duplo e são centrais para resolver uma variedade de problemas trigonométricos, especialmente aqueles que envolvem integração ou resolução de equações trigonométricas.

Compreender as fórmulas de meia-ângulo requer familiaridade com identidades trigonométricas básicas, como as identidades pitagóricas, a fórmula de ângulo duplo e as funções trigonométricas fundamentais: seno, cosseno e tangente.

Identidades trigonométricas básicas

Antes de mergulharmos nas fórmulas de meia-ângulo, vamos resumir brevemente algumas identidades básicas:

  • Identidade Pitagórica:
    sin2(θ) + cos2(θ) = 1
  • Fórmula de ângulo duplo:
    sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) cos(2θ) = cos2(θ) - sin2(θ) = 2cos2(θ) - 1 = 1 - 2sin2(θ)
  • Funções trigonométricas básicas:
    sin(θ), cos(θ), tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)

Fórmula de meia-ângulo

As fórmulas de meia-ângulo podem ser derivadas das fórmulas de ângulo duplo. A ideia é expressar um ângulo como a metade de outro ângulo. As fórmulas de meia-ângulo para seno, cosseno e tangente são dadas como:

  • Fórmula de meia-ângulo do Seno:
    sin(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/2)
  • Fórmula de meia-ângulo do Cosseno:
    cos(θ/2) = ±√((1 + cos(θ))/2)
  • Fórmula de meia-ângulo da Tangente:
    tan(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/(1 + cos(θ))) ou tan(θ/2) = sin(θ)/(1 + cos(θ)) ou tan(θ/2) = (1 - cos(θ))/sin(θ)

O sinal ± nessas fórmulas é determinado dependendo do quadrante em que o ângulo resultante se encontra. Lembre-se de que cada função trigonométrica é positiva ou negativa dependendo do quadrante:

  • Quadrante I: sin, cos, tan são positivos
  • Quadrante II: Sin é Positivo
  • Quadrante III: tan é positivo
  • Quarto quadrante: cos é positivo

Exemplo visual

Para entender melhor o conceito de meia-ângulo, vamos considerar o círculo unitário. Imagine um ângulo θ no círculo unitário. O ângulo θ/2 estará entre a origem (0 graus) e o ângulo θ. A fórmula de meia-ângulo nos permite prever o seno, o cosseno e a tangente desse ângulo θ/2 com base nas coordenadas ou ângulo que podem ser representados visualmente no círculo unitário.

θ/2 θ

No diagrama acima, digamos que θ é 60 graus, então metade dele θ/2 é igual a 30 graus. Podemos ver isso visualmente e calcular os valores de sin, cos e tan para estes usando as fórmulas de meia-ângulo.

Por exemplo, calcule o seno de 30 graus usando o cosseno de 60 graus:

cos(60) = 1/2 sin(30) = √((1 - 1/2)/2) = √(1/4) = 1/2

Exemplos de fórmulas de meia-ângulo na prática

Vamos fazer alguns exercícios para ter uma ideia clara de como as identidades de meia-ângulo funcionam:

Exemplo 1: Encontre sin(75°)

O ângulo 75° não é um ângulo padrão. No entanto, podemos expressá-lo da seguinte forma:

75° = 150° / 2

Usando o cosseno de 150°, que é -√3/2, calculamos:

cos(150°) = -√3/2 sin(75°) = √((1 + cos(150°))/2) = √((1 - √3/2)/2) = √((2 - √3)/4)

Esta expressão fornece o valor de sin(75°) diretamente sem a necessidade de conversão adicional.

Exemplo 2: Encontre tan(22.5°)

Usamos o fato de que 22.5° é metade de 45°. Vamos usar a fórmula:

tan(θ/2) = (1 - cos(θ)) / sin(θ)

Aqui, θ = 45° e cos(45°) = √2/2, e sin(45°) = √2/2.

tan(22.5°) = (1 - √2/2) / (√2/2) = (2 - √2)/√2 = √2 (2 - √2) / 2 = (2√2 - 2) / 2

Como escolher o sinal correto

Conforme mencionado anteriormente, o sinal (±) nas fórmulas de meia-ângulo depende do quadrante onde θ/2 está localizado. Considere as propriedades do quadrante original do ângulo e do círculo unitário. Veja como você pode decidir:

  • Quadrante I: Se θ está no quadrante II, então θ/2 está no quadrante I, e todas as funções trigonométricas são positivas.
  • Quadrante II: Se θ está no quadrante III, então θ/2 estará no quadrante II, onde seno é positivo, cosseno e tangente são negativos.
  • Quadrante III: Se θ está no quadrante IV, então θ/2 estará no quadrante III, onde tangente é positivo, seno e cosseno são negativos.
  • Quarto quadrante: Se θ está no quadrante I, então θ/2 estará no quadrante IV, onde cosseno é positivo, seno e tangente são negativos.

Sempre visualize onde θ/2 está no círculo unitário ou use valores de ângulos conhecidos para determinar o sinal apropriado.

Conclusão

As fórmulas de meia-ângulo são importantes para simplificar expressões trigonométricas e resolver integrais. Tornar-se proficiente no uso delas e entender quando aplicar qual sinal é importante para resolver problemas trigonométricos. Para ganhar fluência no uso das identidades de meia-ângulo, pratique com diferentes ângulos e tente obter esses ângulos encontrados em várias funções trigonométricas.

Através de prática repetida e aplicações, essas fórmulas se tornarão uma parte inestimável do seu conjunto de ferramentas trigonométricas.


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Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria

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