三角法における半角公式の理解
三角法における半角公式は、既知の全角の値を使用して半角の三角関数の値を見つけるための非常に便利なツールです。これらの公式は二重角の同一式から導出されており、特に積分や三角方程式の解法に関する様々な三角問題を解決するための中心的なものです。
半角公式を理解するには、ピタゴラスの同一式、二重角の公式、基本的な三角関数（サイン、コサイン、タンジェント）などの基本的な三角関数の身近さが必要です。
基本的な三角関数の同一式
半角公式に入る前に、基本的な同一式を簡単にまとめておきます：
- ピタゴラスの同一式:
sin2(θ) + cos2(θ) = 1 - 二重角の公式:
sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) cos(2θ) = cos2(θ) - sin2(θ) = 2cos2(θ) - 1 = 1 - 2sin2(θ) - 基本的な三角関数:
sin(θ), cos(θ), tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
半角の公式
半角の公式は二重角の公式から導き出すことができます。基本的な考え方は、ある角を別の角の半分として表現することです。サイン、コサイン、タンジェントの半角公式は次のようになります：
- サインの半角公式:
sin(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/2) - コサインの半角公式:
cos(θ/2) = ±√((1 + cos(θ))/2) - タンジェントの半角公式:
tan(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/(1 + cos(θ))) または tan(θ/2) = sin(θ)/(1 + cos(θ)) または tan(θ/2) = (1 - cos(θ))/sin(θ)
これらの公式の±記号は、結果として得られる角が属する象限によって決まります。各三角関数は、象限によって正または負になります：
- 第1象限: sin, cos, tanは正
- 第2象限: Sinは正
- 第3象限: tanは正
- 第4象限: cosは正
ビジュアル例
半角の概念をより理解するために、単位円を考えてみましょう。単位円上の角θを想像してください。角θ/2は原点（0度）から角θの間にあります。半角の公式を使うと、このθ/2角のサイン、コサイン、タンジェントを、視覚的に単位円上で表現できる座標や角度に基づいて予測できます。
上の図では、θが60度の場合、半分のθ/2は30度に相当します。これを視覚的に見て、半角の公式を使ってこれらのsin, cos, tanの値を計算することができます。
たとえば、60度のコサインを使用して30度のサインを計算しましょう：
cos(60) = 1/2 sin(30) = √((1 - 1/2)/2) = √(1/4) = 1/2半角公式の実践例
半角の同一式がどのように機能するかを明確にするため、いくつかの練習問題を行いましょう：
例1: sin(75°)を求める
角75°は標準角ではありません。しかし、次のように表現できます：
75° = 150° / 2150°のコサインが-√3/2であることを利用して計算します：
cos(150°) = -√3/2 sin(75°) = √((1 + cos(150°))/2) = √((1 - √3/2)/2) = √((2 - √3)/4)この式は、さらなる変換を必要とせずにsin(75°)の値を直接与えます。
例2: tan(22.5°)を求める
22.5°が45°の半分であることを利用します。公式を使用しましょう：
tan(θ/2) = (1 - cos(θ)) / sin(θ)ここで、θ = 45°で、cos(45°) = √2/2、sin(45°) = √2/2です。
tan(22.5°) = (1 - √2/2) / (√2/2) = (2 - √2)/√2 = √2 (2 - √2) / 2 = (2√2 - 2) / 2正しい印の選び方
先に述べたように、半角公式の中の符号（±）は、θ/2がどの象限にあるかに依存します。角の元の象限と単位円の特性を考慮してください。正しい記号を決定する方法は次のとおりです：
- 第1象限: もしθが第2象限にある場合、θ/2は第1象限に入り、すべての三角関数は正です。
- 第2象限: もしθが第3象限にある場合、θ/2は第2象限に入り、サインは正、コサインとタンジェントは負です。
- 第3象限: もしθが第4象限にある場合、θ/2は第3象限に入り、タンジェントは正、サインとコサインは負です。
- 第4象限: もしθが第1象限にある場合、θ/2は第4象限に入り、コサインは正、サインとタンジェントは負です。
常にθ/2が単位円のどこにあるかを視覚化するか、既知の角度の値を使用して正しい符号を決定してください。
結論
半角公式は、三角関数の式を簡略化し、積分を解くために重要です。使用に習熟し、どの記号を適用するかを理解することは、三角問題を解く上で重要です。様々な角度を持つ角度を使って練習し、異なる三角関数に見られるこれらの角を求めることで、半角同一式の使用に流暢になることができます。
繰り返しの練習と応用を通じて、これらの公式は三角法ツールキットの中で非常に貴重なものとなるでしょう。
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