Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría


Las fórmulas de ángulo medio en trigonometría son herramientas extremadamente útiles que nos permiten encontrar los valores trigonométricos de ángulos medios utilizando valores conocidos de ángulos completos. Estas fórmulas se derivan de las identidades de ángulo doble y son fundamentales para resolver una variedad de problemas trigonométricos, especialmente aquellos que involucran integración o resolución de ecuaciones trigonométricas.

Comprender las fórmulas de ángulo medio requiere familiaridad con identidades trigonométricas básicas, como las identidades pitagóricas, la fórmula del ángulo doble y las funciones trigonométricas fundamentales: seno, coseno y tangente.

Identidades trigonométricas básicas

Antes de adentrarnos en las fórmulas de ángulo medio, resumamos brevemente algunas identidades básicas:

  • Identidad pitagórica:
    sin2(θ) + cos2(θ) = 1
  • Fórmula del ángulo doble:
    sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) cos(2θ) = cos2(θ) - sin2(θ) = 2cos2(θ) - 1 = 1 - 2sin2(θ)
  • Funciones trigonométricas básicas:
    sin(θ), cos(θ), tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)

Fórmula de ángulo medio

Las fórmulas de ángulo medio pueden derivarse de las fórmulas de ángulo doble. La idea es expresar un ángulo como la mitad de otro ángulo. Las fórmulas de ángulo medio para seno, coseno y tangente son las siguientes:

  • Fórmula de ángulo medio de Seno:
    sin(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/2)
  • Fórmula de ángulo medio de Coseno:
    cos(θ/2) = ±√((1 + cos(θ))/2)
  • Fórmula de ángulo medio de Tangente:
    tan(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/(1 + cos(θ))) o tan(θ/2) = sin(θ)/(1 + cos(θ)) o tan(θ/2) = (1 - cos(θ))/sin(θ)

El signo ± en estas fórmulas se determina dependiendo del cuadrante en el que se encuentra el ángulo resultante. Recuerde que cada función trigonométrica es positiva o negativa dependiendo del cuadrante:

  • Cuadrante I: sin, cos, tan son positivos
  • Cuadrante II: Seno es positivo
  • Cuadrante III: tan es positivo
  • Cuarto cuadrante: cos es positivo

Ejemplo visual

Para entender mejor el concepto de ángulo medio, consideremos el círculo unitario. Imagine un ángulo θ en el círculo unitario. El ángulo θ/2 se ubicará entre el origen (0 grados) y el ángulo θ. La fórmula de ángulo medio nos permite predecir el seno, coseno y tangente de este ángulo θ/2 basado en las coordenadas o el ángulo que puede representarse visualmente en el círculo unitario.

θ/2 θ

En el diagrama anterior, digamos que θ es 60 grados, por lo que su mitad θ/2 es igual a 30 grados. Podemos ver esto visualmente y calcular los valores de sin, cos y tan para estos usando las fórmulas de ángulo medio.

Por ejemplo, calcule el seno de 30 grados usando el coseno de 60 grados:

cos(60) = 1/2 sin(30) = √((1 - 1/2)/2) = √(1/4) = 1/2

Ejemplos de fórmulas de ángulo medio en práctica

Hagamos algunos ejercicios para obtener una idea clara de cómo funcionan las identidades de ángulo medio:

Ejemplo 1: Encuentre sin(75°)

El ángulo 75° no es un ángulo estándar. Sin embargo, podemos expresarlo de la siguiente manera:

75° = 150° / 2

Usando el coseno de 150°, que es -√3/2, calculamos:

cos(150°) = -√3/2 sin(75°) = √((1 + cos(150°))/2) = √((1 - √3/2)/2) = √((2 - √3)/4)

Esta expresión da el valor de sin(75°) directamente sin necesidad de una conversión adicional.

Ejemplo 2: Encuentre tan(22.5°)

Usamos el hecho de que 22.5° es la mitad de 45°. Utilicemos la fórmula:

tan(θ/2) = (1 - cos(θ)) / sin(θ)

Aquí, θ = 45° y cos(45°) = √2/2, y sin(45°) = √2/2.

tan(22.5°) = (1 - √2/2) / (√2/2) = (2 - √2)/√2 = √2 (2 - √2) / 2 = (2√2 - 2) / 2

Cómo elegir el signo correcto

Como se mencionó anteriormente, el signo (±) en las fórmulas de ángulo medio depende del cuadrante donde se encuentra θ/2. Considere las propiedades del cuadrante original del ángulo y el círculo unitario. Así es como puede decidir:

  • Cuadrante I: Si θ se encuentra en el cuadrante II, entonces θ/2 se encuentra en el cuadrante I, y todas las funciones trigonométricas son positivas.
  • Cuadrante II: Si θ se encuentra en el cuadrante III, entonces θ/2 caerá en el cuadrante II, donde el seno es positivo, el coseno y la tangente son negativos.
  • Cuadrante III: Si θ se encuentra en el cuadrante IV, entonces θ/2 caerá en el cuadrante III, donde la tangente es positiva, el seno y el coseno son negativos.
  • Cuarto cuadrante: Si θ está en el cuadrante I, entonces θ/2 caerá en el cuadrante IV, donde el coseno es positivo, el seno y la tangente son negativos.

Siempre visualice dónde se encuentra θ/2 en el círculo unitario o use valores de ángulos conocidos para determinar el signo correcto.

Conclusión

Las fórmulas de ángulo medio son importantes para simplificar expresiones trigonométricas y resolver integrales. Volverse competente en su uso y comprender cuándo aplicar qué signo es importante para resolver problemas trigonométricos. Para adquirir fluidez en el uso de identidades de ángulo medio, practique con diferentes ángulos e intente obtener estos ángulos que se encuentran en varias funciones trigonométricas.

A través de la práctica repetida y aplicaciones, estas fórmulas se convertirán en una parte invaluable de su caja de herramientas de trigonometría.


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