Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Тригонометрия → Тригонометрические отношения и идентичности ↓


Основные тригонометрические отношения


Тригонометрия — это изучение отношений между углами и сторонами треугольников. В математике тригонометрические отношения — это соотношения длин сторон прямоугольного треугольника относительно его углов. Три основных тригонометрических отношения — это синус (sin), косинус (cos) и тангенс (tan).

Понимание прямоугольных треугольников

Прямоугольный треугольник — это треугольник с одним углом, равным 90 градусам. Сторона, противоположная этому прямому углу, называется гипотенузой, и это самая длинная сторона треугольника. Две другие стороны называются противоположной стороной и прилегающей стороной, каждая из которых называется в зависимости от угла. Вот быстрое изображение:

       ,
       ,
    o |  h
       ,
       ,
         A

На приведенном выше треугольнике, где:

  • h — это гипотенуза
  • o — это сторона, противоположная углу, к которому мы относимся
  • a — это сторона, прилегающая к углу, к которому мы относимся

Основные тригонометрические отношения

Тригонометрические отношения для любого угла прямоугольного треугольника определяются следующим образом:

Хорда

Синус (θ) угла — это отношение длины противоположной стороны к длине гипотенузы.

    sin(θ) = противоположная/гипотенуза

Косинус

Косинус (θ) угла — это отношение длины прилегающей стороны к длине гипотенузы.

    cos(θ) = прилегающая / гипотенуза

Линия тангенса

Тангенс (θ) угла — это отношение длины противоположной стороны к длине прилегающей стороны.

    tan(θ) = противоположная/прилегающая

Визуальный пример

Объясним это с помощью визуального представления, где у нас есть прямоугольный треугольник и угол θ:

θ близко Антоним Ухо

Пример расчета

Пример 1: Вычисление синуса

Предположим, у нас есть прямоугольный треугольник с углом θ, в котором противоположная сторона равна 3 единицам, а гипотенуза равна 5 единицам.

    sin(θ) = противоположная / гипотенуза = 3/5 = 0.6

Соответственно, sin(θ) = 0.6.

Пример 2: Вычисление косинуса

Предположим, что прилегающая сторона того же треугольника равна 4 единицам, а гипотенуза равна 5 единицам.

    cos(θ) = прилегающая / гипотенуза = 4/5 = 0.8

Таким образом, cos(θ) = 0.8.

Пример 3: Вычисление тангенса

Вычислите тангенс, используя те же свойства треугольника.

    tan(θ) = противоположная/прилегающая = 3/4 = 0.75

Итак, tan(θ) = 0.75.

Приложения тригонометрических отношений

Тригонометрические отношения имеют различные приложения в различных областях, таких как инженерия, физика, а также в простых повседневных задачах, таких как архитектура и навигация. Понимание этих основных тригонометрических понятий позволяет нам решать задачи, связанные с прямоугольными треугольниками, и выполнять важные расчеты в конструкциях и структурах.

Практическое упражнение

Давайте еще раз укрепим наше понимание, выполняя несколько упражнений. Рассчитайте тригонометрические отношения для следующего треугольника:

Задан прямоугольный треугольник:

  • Противоположная сторона = 7 единиц
  • Прилегающая сторона = 24 единицы
  • Гипотенуза = 25 единиц

Рассчитайте sin(θ), cos(θ) и tan(θ)

Решение:

Сигналы:

        sin(θ) = 7 / 25 = 0.28

Косинус:

        cos(θ) = 24 / 25 = 0.96

Линия тангенса:

        tan(θ) = 7 / 24 = 0.2917

Заключение

Основные тригонометрические отношения синуса, косинуса и тангенса являются фундаментальными элементами в тригонометрии. Они помогают нам понимать и решать задачи, связанные с треугольниками. Овладение этими отношениями важно, поскольку они широко используются в более сложных математических задачах и различных реальных приложениях.


Класс 11 → 3.1.1


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (3.1)
Тригонометрические отношения и идентичности
следующая (3.1.2) →
Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии

комментарии 



Основные тригонометрические отношения

https://www.buddymath.com/g11/3.1.1?bmal=ru