Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 ↓


Функции и графики


Функции и графики - это фундаментальные концепции в математике, которые позволяют нам понимать и визуализировать отношения между переменными. Эти концепции необходимы для решения задач в различных областях, включая науку, инженерию и экономику. В этом уроке мы изучим основы функций и графиков, обсудим различные типы функций и научимся интерпретировать и рисовать их графики.

Что такое функция?

Функция - это отношения между двумя наборами значений, где каждое входное значение из первого набора связано ровно с одним выходным значением из второго набора. Представьте это как машину: вы даете ей ввод, и она выдает вам вывод.

Математическое представление функций

Математически функция может быть представлена с помощью правила или уравнения. Вот пример:

    f(x) = x + 2

В этой функции f(x) - это выход, когда x - это вход. Для каждого значения, выбранного для x, функция дает выход, прибавляя 2 к x.

Типы задач

Существует множество типов функций, с которыми вы можете столкнуться. Вот некоторые распространенные функции:

Линейные функции

Линейные функции образуют прямые линии на графике. Их формат следующий:

    f(x) = mx + c

Здесь m - это наклон, а c - ордината в точке пересечения с осью y. Наклон представляет крутизну линии, а ордината в точке пересечения с осью y - это точка, где линия пересекает ось y.

y = x

Квадратичные функции

Квадратичные функции образуют параболы (U-образные или перевернутые U-образные графики). Их формат следующий:

    f(x) = x^2 + bx + c

Буква a определяет направление параболы (если a положительное, то она открывается вверх, а если отрицательное, то вниз).

y = x 2

Экспоненциальные функции

В экспоненциальных функциях переменная находится в показателе степени. Они имеют следующий вид:

    f(x) = a * b^x

Эти функции быстро растут и образуют J-образные кривые. Если b больше 1, функция моделирует экспоненциальный рост; если b находится между 0 и 1, она моделирует экспоненциальное убывание.

y = 2x

Понимание графика функции

Графики - это визуальные представления функций, показывающие, как выходное значение изменяется при различных входных значениях. Давайте научимся интерпретировать эти графики.

Декартова плоскость

Графики часто рисуются на декартовой плоскости, которая состоит из двух числовых линий: горизонтальной оси x и вертикальной оси y. Точка их пересечения называется началом координат и обозначается как (0, 0).

0 X Y

Построение точек

Каждая точка на графике может быть описана парой чисел, называемой координатами, записываемыми в виде (x, y). Чтобы построить точку, вы начинаете с начала координат, перемещаетесь вдоль оси x на величину первого числа, а затем поднимаетесь или опускаетесь вдоль оси y на величину второго числа.

Например, чтобы построить точку (3, 2), вы начинаете с начала координат, перемещаетесь на 3 единицы вправо, а затем перемещаетесь на 2 единицы вверх. Это приведет вас к точке (3, 2).

(3, 2)

Извлечение свойств функции из графика

При изучении графика функции можно определить различные свойства, такие как:

  • X-пересечение: Точка, в которой график пересекает ось x, то есть когда выходное значение y равно нулю.
  • Y-пересечение: Точка, в которой график пересекает ось y, то есть когда входное значение x равно нулю.
  • Наклон: Для линейных функций наклон графика представляет собой скорость изменения функции.
  • Вершина квадратичной функции: Самая высокая или самая низкая точка параболы, в зависимости от того, открывается она вверх или вниз.

Преобразование функций

Функция может быть сдвинута, растянута, сжата или отражена. Эти изменения называются преобразованиями. Вот некоторые основные преобразования:

Вертикальные и горизонтальные сдвиги

Сдвиг функции вверх или вниз включает добавление или вычитание постоянного значения из функции. Вот пример:

    f(x) = x^2 + 3

Это приведет к сдвигу исходной квадратичной функции f(x) = x^2 вверх на 3 единицы.

Некоторые соображения

Отражение переворачивает график функции относительно оси. Например, отражение относительно оси x приводит к следующим преобразованиям:

    f(x) = -x^2

Это показывает изменение исходного открытия квадратичной функции с открывающейся вверх на теперь уже открывающуюся вниз.

Заключение

Понимание функций и их графиков является важным навыком в математике. Это позволяет нам видеть закономерности, интерпретировать данные и эффективно решать задачи. С практикой вы станете более уверенными в идентификации различных типов функций и распознавании их закономерностей на различных графиках. По мере вашего продвижения эти концепции станут основой для более продвинутой математики.


Класс 11 → 2


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (1.3.5)
Треугольник Паскаля
следующая (2.1) →
Типы задач

комментарии 



Функции и графики

https://www.buddymath.com/g11/2?bmal=ru