11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

11º ano ↓


Funções e gráficos


Funções e gráficos são conceitos fundamentais na matemática que nos permitem entender e visualizar relações entre variáveis. Esses conceitos são essenciais para resolver problemas em diversas áreas, incluindo ciência, engenharia e economia. Nesta lição, exploraremos os conceitos básicos de funções e gráficos, discutiremos os diferentes tipos de funções e aprenderemos a interpretar e desenhar seus gráficos.

O que é a função?

Uma função é uma relação entre dois conjuntos de valores, onde cada valor de entrada do primeiro conjunto se relaciona com exatamente um valor de saída no segundo conjunto. Pense nisso como uma máquina: você dá uma entrada, e ela lhe dá uma saída.

Representação matemática das funções

Matematicamente, uma função pode ser representada usando uma regra ou equação. Aqui está um exemplo:

    f(x) = x + 2

Nessa função, f(x) é a saída quando x é a entrada. Para cada valor que você escolhe para x, a função lhe dá a saída adicionando 2 a x.

Tipos de tarefas

Há muitos tipos de funções que você pode encontrar. Aqui estão algumas funções comuns:

Funções lineares

As funções lineares formam linhas retas quando representadas graficamente. Seu formato é o seguinte:

    f(x) = mx + c

Aqui, m é a inclinação, e c é o intercepto no eixo y. A inclinação representa a inclinação da linha, e o intercepto y é onde a linha cruza o eixo y.

y = x

Funções quadráticas

As funções quadráticas formam parábolas (gráficos em forma de U ou U invertido). Seu formato é o seguinte:

    f(x) = x^2 + bx + c

A letra a determina a direção da parábola (se a é positiva, então ela abre para cima, e se negativa, para baixo).

y = x 2

Função exponencial

As funções exponenciais envolvem a variável no expoente. Elas têm a forma:

    f(x) = a * b^x

Essas funções crescem rapidamente e formam curvas em forma de J. Se b for maior que 1, a função modela crescimento exponencial; se b estiver entre 0 e 1, ela modela decaimento exponencial.

y = 2x

Compreendendo o gráfico de uma função

Gráficos são representações visuais de funções, mostrando como o valor de saída muda para diferentes valores de entrada. Vamos aprender a interpretar esses gráficos.

Plano cartesiano

Os gráficos são frequentemente desenhados no plano cartesiano, que é composto por duas linhas numéricas: o eixo x horizontal e o eixo y vertical. O ponto onde eles se intersectam é chamado de origem, rotulado como (0, 0).

0 X Y

Plotagem de pontos

Cada ponto em um gráfico pode ser descrito por um par de números chamados coordenadas, escritos como (x, y). Para plotar um ponto, você começa na origem, move-se ao longo do eixo x pelo primeiro número, e depois move-se para cima ou para baixo ao longo do eixo y pelo segundo número.

Por exemplo, para plotar o ponto (3, 2), você começa na origem, se move 3 unidades para a direita e depois move 2 unidades para cima. Isso leva você ao ponto (3, 2).

(3, 2)

Extraindo propriedades da função a partir de um gráfico

Ao olhar para o gráfico de uma função, podemos determinar várias propriedades, tais como:

  • Intercepto X: O ponto onde o gráfico cruza o eixo x, ou seja, a saída y é zero.
  • Intercepto Y: O ponto onde o gráfico cruza o eixo y, isto é, a entrada x é zero.
  • Inclinação: Para funções lineares, a inclinação do gráfico representa a taxa de variação da função.
  • Vértice de uma quadrática: O ponto mais alto ou mais baixo da parábola, dependendo se ela abre para cima ou para baixo.

Conversão de funções

A função pode ser deslocada, esticada, comprimida ou refletida. Essas mudanças são chamadas transformações. Aqui estão algumas transformações básicas:

Deslocamentos verticais e horizontais

Deslocar uma função para cima ou para baixo envolve adicionar ou subtrair um valor constante da função. Aqui está um exemplo:

    f(x) = x^2 + 3

Isso fará com que a função quadrática original f(x) = x^2 seja deslocada para cima em 3 unidades.

Algumas reflexões

A reflexão inverte o gráfico de uma função em um eixo. Por exemplo, refletir no eixo x resulta nas seguintes transformações:

    f(x) = -x^2

Isso mostra a parábola original abrindo-se de uma abertura para cima para agora uma abertura para baixo.

Conclusão

Compreender funções e seus gráficos é uma habilidade vital na matemática. Isso nos permite ver padrões, interpretar dados e resolver problemas de forma eficaz. Com prática, você se tornará mais confortável em identificar diferentes tipos de funções e reconhecer seus padrões em diferentes gráficos. À medida que você avança, esses conceitos servirão de base para uma matemática mais avançada.


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Funções e gráficos

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