Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

Grado 11 ↓


Funciones y gráficos


Las funciones y los gráficos son conceptos fundamentales en matemáticas que nos permiten entender y visualizar las relaciones entre variables. Estos conceptos son esenciales para resolver problemas en una variedad de campos, incluyendo la ciencia, la ingeniería y la economía. En esta lección, exploraremos los conceptos básicos de las funciones y los gráficos, discutiremos los diferentes tipos de funciones y aprenderemos a interpretar y dibujar sus gráficos.

¿Qué es la función?

Una función es una relación entre dos conjuntos de valores, donde cada valor de entrada del primer conjunto se relaciona con exactamente un valor de salida en el segundo conjunto. Piénsalo como una máquina: le das una entrada y te da una salida.

Representación matemática de las funciones

Matemáticamente, una función se puede representar usando una regla o ecuación. Aquí hay un ejemplo:

    f(x) = x + 2

En esta función, f(x) es la salida cuando x es la entrada. Para cada valor que elijas para x, la función te da la salida sumándole 2 a x.

Tipos de tareas

Hay muchos tipos de funciones que puedes encontrar. Aquí hay algunas funciones comunes:

Funciones lineales

Las funciones lineales forman líneas rectas cuando se grafican. Su formato es el siguiente:

    f(x) = mx + c

Aquí, m es la pendiente y c es el intercepto en y. La pendiente representa la inclinación de la línea y el intercepto en y es donde la línea cruza el eje y.

y = x

Funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas forman parábolas (gráficos en forma de U o U invertida). Su formato es el siguiente:

    f(x) = x^2 + bx + c

La letra a determina la dirección de la parábola (si a es positivo, entonces se abre hacia arriba, y si es negativo, entonces hacia abajo).

y = x 2

Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales involucran la variable en el exponente. Estas tienen la forma:

    f(x) = a * b^x

Estas funciones crecen rápidamente y forman curvas en forma de J. Si b es mayor que 1, la función modela un crecimiento exponencial; si b está entre 0 y 1, modela una disminución exponencial.

y = 2x

Entendiendo el gráfico de una función

Los gráficos son representaciones visuales de funciones, mostrando cómo cambia el valor de salida para diferentes valores de entrada. Aprendamos a interpretar estos gráficos.

Plano cartesiano

Los gráficos a menudo se dibujan en el plano cartesiano, que se compone de dos líneas numéricas: el eje x horizontal y el eje y vertical. El punto donde se intersecan se llama el origen, etiquetado como (0, 0).

0 X Y

Graficando puntos

Cada punto en un gráfico puede describirse mediante un par de números llamados coordenadas, escritas como (x, y). Para graficar un punto, comienzas en el origen, te mueves a lo largo del eje x por el primer número y luego te desplazas hacia arriba o hacia abajo a lo largo del eje y por el segundo número.

Por ejemplo, para graficar el punto (3, 2), comienzas en el origen, te mueves 3 unidades a la derecha y luego te mueves 2 unidades hacia arriba. Esto te lleva al punto (3, 2).

(3, 2)

Extrayendo propiedades de la función de un gráfico

Al observar el gráfico de una función, podemos determinar varias propiedades como:

  • Intersección con el eje X: El punto donde el gráfico cruza el eje x, es decir, la salida y es cero.
  • Intersección con el eje Y: El punto donde el gráfico cruza el eje y, es decir, la entrada x es cero.
  • Pendiente: Para funciones lineales, la pendiente del gráfico representa la tasa de cambio de la función.
  • Vértice de un cuadrilátero: El punto más alto o más bajo de la parábola, dependiendo de si se abre hacia arriba o hacia abajo.

Transformación de funciones

La función puede desplazarse, estirarse, comprimirse o reflejarse. Estos cambios se llaman transformaciones. Aquí hay algunas transformaciones básicas:

Desplazamientos verticales y horizontales

Desplazar una función hacia arriba o hacia abajo implica sumar o restar un valor constante de la función. Aquí hay un ejemplo:

    f(x) = x^2 + 3

Esto hará que la función cuadrática original f(x) = x^2 se desplace 3 unidades hacia arriba.

Algunas reflexiones

La reflexión invierte el gráfico de una función a través de un eje. Por ejemplo, reflejando a través del eje x, resulta en las siguientes transformaciones:

    f(x) = -x^2

Esto muestra cambiar la apertura cuadrática original de una apertura hacia arriba ahora a una apertura hacia abajo.

Conclusión

Entender las funciones y sus gráficos es una habilidad vital en matemáticas. Nos permite ver patrones, interpretar datos y resolver problemas de manera efectiva. Con la práctica, te volverás más cómodo identificando diferentes tipos de funciones y reconociendo sus patrones en diferentes gráficos. A medida que avances, estos conceptos servirán como base para matemáticas más avanzadas.


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Funciones y gráficos

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