11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Encontrando o inverso


Na matemática, entender o conceito de uma função inversa é crucial para compreender como as funções funcionam inversamente. Este tópico mergulha fundo na busca pelo inverso de uma função, um conceito fundamental que nos permite "desfazer" uma função dada. Através deste guia detalhado, exploraremos o que significa para uma função ter um inverso, como encontrar esse inverso e vários exemplos para solidificar sua compreensão.

O que é uma função inversa?

A função inversa reverte a operação da função original. Se você tem uma função f que mapeia a entrada x para a saída y, a função inversa, denotada como f -1, mapeia y de volta para x. A relação pode ser expressa como:

f(x) = y

f -1 (y) = x

Para que uma função inversa exista, a função original deve ser bijetiva. Isso significa que deve ser ao mesmo tempo injetiva (um-para-um) e sobrejetiva (sobre).

Como determinar se uma função é bijetiva ou não?

Existem dois critérios principais para o inverso de uma função:

  1. Um-para-um (injetiva): Cada saída é mapeada por apenas uma entrada.
  2. Sobre (sobrejetiva): Cada saída possível é coberta pela função.

Para determinar se uma função é bijetiva, você pode usar estes testes:

  • Teste da Linha Horizontal: Para o gráfico de uma função, se cada linha horizontal intersecta o gráfico no máximo uma vez, então a função é um-para-um.

Exemplo:

No ilustração acima, a curva representa uma função. A linha vermelha, que é horizontal, intercepta o gráfico apenas uma vez, indicando que a função é um-para-um. Portanto, é uma candidata a ser o inverso.

Etapas para encontrar o inverso de uma função

Siga estas etapas para encontrar o inverso de uma função:

  1. Altere a notação da função: Comece com a equação da função e substitua f(x) por y.
  2. Troque as variáveis: Inverta as variáveis x e y.
  3. Resolva para y: Certifique-se de que todos os termos estejam isolados para resolver y.
  4. Substitua y por f -1 (x): A nova equação representa a função inversa.
  5. Verifique: Verifique que f(f -1 (x)) = x e f -1 (f(x)) = x.

Exemplo 1: Função linear

Considere a função f(x) = 2x + 3.

  1. Substitua f(x) por y:
     y = 2x + 3
  2. Substitua x e y:
     x = 2y + 3
  3. Resolva para y:
        x – 3 = 2y
    
    y = (x – 3) / 2
  4. Substitua y por f -1 (x):
     f - 1 (x) = (x - 3) / 2

Assim, a função inversa é f -1 (x) = (x - 3) / 2.

Exemplo 2: Função quadrática

Funções quadráticas requerem consideração cuidadosa, já que nem todas as funções quadráticas têm inversos. Considere f(x) = x 2.

A função f(x) = x 2 não é um-para-um porque f(2) = 4 e f(-2) = 4. Para obter o inverso, o domínio pode ser restrito para tornar a função um-para-um (por exemplo, x ≥ 0).

O gráfico acima mostra apenas a metade direita da parábola, tornando f efetivamente um-para-um.

Para esta função restrita: f(x) = x 2, x ≥ 0

  1. Substitua f(x) por y:
     y = x 2
  2. Substitua x e y:
     x = y 2
  3. Resolva para y:
     y = √x
  4. Substitua y por f -1 (x):
     f -1 (x) = √x

Portanto, o inverso da função é f -1 (x) = √x, para o qual x ≥ 0.

Relação entre uma função e seu inverso

O inverso de uma função é refletido no gráfico na linha y = x. Essa reflexão mostra como as entradas e saídas são trocadas entre a função e seu inverso. Considere o exemplo onde f(x) = 2x + 3 e f -1 (x) = (x - 3) / 2. Graficamente, eles aparecem como reflexos na linha y = x.

No gráfico acima, a linha cinza tracejada é y = x, a linha azul representa a função f(x), e a linha vermelha representa o inverso f -1 (x).

Exemplos adicionais

Exemplo 3: Função racional

Suponha que você tenha esta função: f(x) = (2x + 3) / (x - 1).

  1. Substitua f(x) por y:
     y = (2x + 3) / (x – 1)
  2. Substitua x e y:
     x = (2y + 3) / (y – 1)
  3. Resolva para y:
        x(y - 1) = 2y + 3
    
    xy−x=2y+3
    
    xy – 2y = x + 3
    
    y(x – 2) = x + 3
    
    y = (x + 3) / (x - 2)
  4. Substitua y por f -1 (x):
     f - 1 (x) = (x + 3) / (x - 2)

Assim, o inverso é f -1 (x) = (x + 3) / (x - 2).

Exemplo 4: Função exponencial

Para a função exponencial f(x) = 2 x, o inverso é a função logarítmica.

  1. Substitua f(x) por y:
     y = 2x
  2. Substitua x e y:
     x = 2y
  3. Resolva para y usando logaritmos:
        y = log 2 (x)
  4. Substitua y por f -1 (x):
     f -1 (x) = log 2 (x)

Portanto, a função inversa é f -1 (x) = log 2 (x).

Aplicação prática de funções inversas

Funções inversas têm uma ampla gama de aplicações em cenários da vida real, tais como:

  • Ciência e Engenharia: Resolução de equações envolvendo conversão de temperatura, eletricidade e dinâmica de fluidos.
  • Criptografia: Muitos algoritmos de criptografia dependem do conceito de funções unidirecionais e seus inversos.
  • Economia: Funções inversas são frequentemente necessárias para calcular taxas de juros e modelos de crescimento.

Conclusão

Entender funções inversas é crucial para compreender os processos por trás das equações matemáticas e das aplicações do mundo real. Elas fornecem uma ferramenta forte para resolver equações e entender as relações entre variáveis. Dominar funções inversas constrói uma base para conceitos matemáticos mais complexos e aprimora o pensamento crítico em cenários de resolução de problemas.


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Encontrando o inverso

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