11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Conversão de funções


Em matemática, uma função é uma relação que define como uma variável depende de outra. Gráficos são representações visuais dessas funções. Transformações de uma função envolvem a alteração da fórmula de uma função para produzir variações na forma e na posição do gráfico. Essas transformações formam a base para entender como manipular e interpretar funções em contextos algébricos e geométricos. Para compreender totalmente o conceito de transformações de uma função, é útil primeiro entender algumas funções básicas e seus gráficos. Funções comuns incluem lineares, quadráticas, valor absoluto e funções trigonométricas. Iremos explorar os tipos de transformações e aplicá-las a essas funções para ver como afetam os gráficos.

Tipos de mudanças

Existem várias maneiras básicas de transformar o gráfico de uma função:

  1. Translação: mover o gráfico para cima, para baixo, à esquerda ou à direita.
  2. Reflexão: Virar um gráfico sobre uma linha, como o eixo x ou o eixo y.
  3. Alongamento: Redimensionar o gráfico para esticá-lo ou comprimi-lo.
  4. Rotação: Girar o gráfico em torno de um ponto dado (menos comum e mais avançado no contexto de transformações de funções).

Tradução de trabalhos

A tradução envolve mover o gráfico de uma função horizontal ou verticalmente. Não altera a forma ou orientação do gráfico, mas altera sua posição.

Translação vertical

Translação vertical move o gráfico de uma função para cima ou para baixo. Se você tem a função f(x), traduzi-la verticalmente envolve adicionar ou subtrair a mesma quantidade de cada valor de saída da função.

f(x) + c

Aqui, c é uma constante. Se c é positivo, o gráfico sobe c unidades. Se c for negativo, ele desce |c| unidades.

Exemplo:

Considere a função f(x) = x^2. Este é o gráfico de uma parábola com vértice na origem (0,0). Vamos aplicar uma translação vertical:

f(x) = x^2 + 3

O gráfico dessa função será a mesma parábola, mas deslocada 3 unidades para cima.

Neste diagrama SVG, a curva azul representa f(x) = x^2, e a curva vermelha representa f(x) = x^2 + 3.

Translação horizontal

Translação horizontal move o gráfico para a esquerda ou para a direita. Para uma função f(x), a translação horizontal altera a função da seguinte forma:

f(x – c)

Se c é positivo, o gráfico se desloca para a direita em c unidades. Se c for negativo, ele se desloca para a esquerda em |c| unidades.

Exemplo:

Vamos usar a mesma função f(x) = x^2 e aplicar uma translação horizontal:

f(x) = (x - 3)^2

Aqui, o gráfico da parábola será deslocado 3 unidades para a direita.

Neste diagrama SVG, a curva azul representa f(x) = x^2, e a curva vermelha representa f(x) = (x - 3)^2.

Reflexão de tarefas

A reflexão inverte o gráfico de uma função sobre uma linha específica, como o eixo x ou o eixo y.

Reflexão sobre o eixo x

Para refletir uma função sobre o eixo x, você multiplica toda a função por -1:

−f(x)

Esta transformação altera o sinal da saída da função e a inverte verticalmente.

Exemplo:

Usando a função f(x) = x^2, refletindo-a sobre o eixo x resultará em:

f(x) = -x^2

Uma parábola em abertura para cima se torna uma parábola em abertura para baixo.

Neste diagrama SVG, a curva azul representa f(x) = x^2, e a curva vermelha representa f(x) = -x^2.

Reflexão sobre o eixo y

Para refletir uma função sobre o eixo y, você substitui cada x por -x:

f(-x)

Esta transformação inverte o gráfico horizontalmente.

Exemplo:

Considere a função f(x) = 2^x. Refletindo-a sobre o eixo y, obtemos:

f(x) = 2^{-x}

O gráfico exponencial é invertido horizontalmente.

Neste diagrama SVG, a curva azul representa f(x) = 2^x, e a curva vermelha representa f(x) = 2^{-x}.

Extensão de funções

A dilatação envolve esticar ou comprimir o gráfico de uma função. Isso pode acontecer vertical ou horizontalmente.

Expansão vertical

Expansão vertical envolve esticar ou comprimir verticalmente um gráfico de função multiplicando a função por uma constante.

a*f(x)
  • Se a > 1, o gráfico é afastado do eixo x.
  • Se 0 < a < 1, o gráfico é comprimido em direção ao eixo x.
  • Se a < 0, o gráfico reflete sobre o eixo x e é esticado ou comprimido.

Exemplo:

A função f(x) = x^2 pode ser expandida verticalmente:

f(x) = 2x^2

A parábola é estendida verticalmente.

No diagrama SVG acima, a curva azul representa f(x) = x^2, e a curva vermelha representa f(x) = 2x^2.

Dispersão horizontal

Estiramento horizontal envolve esticar ou comprimir horizontalmente o gráfico multiplicando a variável x por uma constante:

f(b*x)
  • Se b > 1, o gráfico é comprimido horizontalmente.
  • Se 0 < b < 1, o gráfico é expandido horizontalmente.

Exemplo:

Considere a função f(x) = sqrt(x) A dispersão horizontal é:

f(0.5*x)

Isso faz com que o gráfico se estique horizontalmente.

No diagrama SVG acima, a curva azul representa f(x) = sqrt(x), enquanto a curva vermelha representa f(0.5*x) = sqrt(0.5*x), que é expandida horizontalmente.

Conclusão

Compreender as transformações de funções é crucial para explorar o comportamento de modelos matemáticos em aplicações do mundo real. Ao explorar extensivamente translações, reflexões e dilatações, os alunos podem prever efetivamente como a transformação de uma função afetará seus gráficos e como essas transformações se manifestarão em diferentes contextos. A capacidade de interpretar e transformar funções equipa os alunos com as ferramentas para analisar relações entre quantidades, otimizar soluções e resolver problemas matemáticos complexos. Esta visão geral, rica em exemplos e ilustrações gráficas, ajuda a construir uma compreensão básica de como as funções podem ser manipuladas para se adequar a diferentes cenários. Com prática, os estudantes de matemática do 11º ano desenvolverão uma compreensão sólida das transformações de funções, beneficiando-se de sua aplicabilidade na resolução de problemas do dia a dia e aprimorando suas habilidades analíticas.


11º ano → 2.2


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