कार्यों का परिवर्तन
गणित में, एक कार्य एक संबंध होता है जो यह परिभाषित करता है कि एक परिवर्ती दूसरे पर कैसे निर्भर करता है। ग्राफ इन कार्यों के दृश्य प्रतिनिधित्व होते हैं। एक कार्य का परिवर्तनात्मक हस्तक्षेप एक कार्य के सूत्र को बदलना शामिल करता है ताकि ग्राफ के आकार और स्थिति में भिन्नता उत्पन्न हो। ये परिवर्तन अल्गेब्राइक और ज्यामितीय संदर्भों में कार्यों को प्रबंधन और व्याख्या करने की समझ के लिए आधार बनते हैं। एक कार्य के परिवर्तन की अवधारणा को पूरी तरह से समझने के लिए, पहले कुछ मूल कार्यों और उनके ग्राफ की समझ विकसित करना सहायक होता है। सामान्य कार्यों में रैखिक, द्विघात, निरपेक्ष मूल्य, और त्रिकोणमितीय कार्य शामिल हैं। हम इन कार्यों को प्रभावित करने वाले परिवर्तन के प्रकारों का पता लगाएंगे और इन्हें कैसे देखेंगे।
परिवर्तन के प्रकार
कार्य के ग्राफ को रूपांतरित करने के कई बुनियादी तरीके हैं:
- हत्चलन: ग्राफ को ऊपर, नीचे, बाएं, या दाएं स्थानांतरित करना।
- प्रतिच्छाया: एक रेखा के बारे में ग्राफ को पलटना, जैसे कि x-अक्ष या y-अक्ष।
- प्रसार: ग्राफ को खींचकर या संकुचित करके उसका आकार बदलना।
- घूर्णन: ग्राफ को दिए गए बिंदु के चारों ओर घुमाना (यह परिवर्तन कार्यों के संदर्भ में कम सामान्य और अधिक उन्नत होता है)।
कार्य के हत्चलन
हत्चलन में कार्य के ग्राफ को क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर रूप से स्थानांतरित करना शामिल होता है। यह ग्राफ के आकार या ध्यानाकर्षण को नहीं बदलता, लेकिन यह इसकी स्थिति बदलता है।
ऊर्ध्वाधर हत्चलन
ऊर्ध्वाधर हत्चलन कार्य के ग्राफ को ऊपर या नीचे ले जाता है। यदि आपके पास कार्य f(x) है, तो इसे ऊर्ध्वाधर रूप से हत्चलित करने में प्रत्येक आउटपुट मान में समान मात्रा जोड़ना या घटाना शामिल होता है।
f(x) + c
यहां, c एक स्थिरांक है। यदि c सकारात्मक है, तो ग्राफ c इकाइयों ऊपर चलता है। यदि c नकारात्मक है, तो यह नीचे की ओर |c| इकाइयों की ओर चलता है।
उदाहरण:
कार्य f(x) = x^2 को देखें। यह ग्राफ एक यामक का है जिसका शीर्ष बिंदु इस स्थल (0,0) पर है। चलिए एक ऊर्ध्वाधर हत्चलन लागू करते हैं:
f(x) = x^2 + 3
इस कार्य का ग्राफ वही यामक होगा, लेकिन 3 इकाइयां ऊपर स्थानांतरित हो जाएगा।
इस SVG आरेख में, नीली वक्र f(x) = x^2 को दर्शाती है, और लाल वक्र f(x) = x^2 + 3 को दर्शाती है।
क्षैतिज हत्चलन
क्षैतिज हत्चलन ग्राफ को बाएं या दाएं ले जाता है। एक कार्य f(x) के लिए, क्षैतिज हत्चलन कार्य को निम्नलिखित तरीके से बदलता है:
f(x – c)
यदि c सकारात्मक है, तो ग्राफ c इकाइयों की ओर दाएं चलता है। यदि c नकारात्मक है, तो यह |c| इकाइयों की ओर बाएं चलता है।
उदाहरण:
चलिए वही कार्य f(x) = x^2 लीजिए और एक क्षैतिज हत्चलन लागू करें:
f(x) = (x - 3)^2
यहां, यामक का ग्राफ 3 इकाइयां दाएं स्थानांतरित हो जाएगा।
इस SVG आरेख में, नीली वक्र f(x) = x^2 को दर्शाती है, और लाल वक्र f(x) = (x - 3)^2 को दर्शाती है।
कार्य के प्रतिच्छाया
प्रतिच्छाया एक कार्य के ग्राफ को एक विशेष रेखा के बारे में पलटा देते हैं, जैसे कि x-अक्ष या y-अक्ष।
x-अक्ष के बारे में प्रतिच्छाया
एक कार्य को x-अक्ष के चारों ओर पलटने के लिए, आप पूरे कार्य को -1 से गुणा करते हैं:
−f(x)
यह परिवर्तन कार्य के आउटपुट के चिन्ह को बदलता है, और इसे ऊर्ध्वाधर रूप से पलटा देता है।
उदाहरण:
कार्य f(x) = x^2 का उपयोग करके, इसे x-अक्ष के चारों ओर पलटने पर:
f(x) = -x^2
ऊर्ध्वमुखी खुला यामक निम्नमुखी खुला यामक बनता है।
इस SVG आरेख में, नीली वक्र f(x) = x^2 को दर्शाती है, और लाल वक्र f(x) = -x^2 को दर्शाती है।
y-अक्ष के बारे में प्रतिच्छाया
एक कार्य को y-अक्ष के चारों ओर पलटने के लिए, प्रत्येक x को -x से बदल दें:
f(-x)
यह परिवर्तन ग्राफ को क्षैतिज रूप से पलटा देता है।
उदाहरण:
कार्य f(x) = 2^x को देखें। इसे y-अक्ष के चारों ओर पलटने से मिलता है:
f(x) = 2^{-x}
विस्तार ग्राफ क्षैतिज रूप से पलटा होता है।
इस SVG आरेख में, नीली वक्र f(x) = 2^x को दर्शाती है, और लाल वक्र f(x) = 2^{-x} को दर्शाती है।
कार्य का प्रसार
विस्तार एक कार्य के ग्राफ को खींचकर या संकुचित करके होता है। यह ऊर्ध्वाधर या क्षैतिज रूप में हो सकता है।
ऊर्ध्वाधर प्रसार
ऊर्ध्वाधर विस्तार कार्य के ग्राफ को ऊर्ध्वाधर रूप से खींचकर या संकुचित करके होता है, जिसमें कार्य को एक स्थिरांक द्वारा गुणा करना होता है।
a*f(x)
- यदि
a > 1है, तो ग्राफ x-अक्ष से दूर खींचा जाता है। - यदि
0 < a < 1है, तो ग्राफ x-अक्ष की ओर संकुचित होता है। - यदि
a < 0है, तो ग्राफ x-अक्ष के चारों ओर पलटा होता है और खींचा या संकुचित होता है।
उदाहरण:
कार्य f(x) = x^2 को ऊर्ध्वाधर रूप से विस्तारित किया जा सकता है:
f(x) = 2x^2
यामक ऊर्ध्वाधर रूप से विस्तारित होता है।
उपरोक्त SVG आरेख में, नीली वक्र f(x) = x^2 को दर्शाती है, और लाल वक्र f(x) = 2x^2 को दर्शाती है।
क्षैतिज प्रसार
क्षैतिज खींचाई ग्राफ को क्षैतिज रूप से खींचकर या संकुचित करने के लिए x प्रदत्त को एक स्थिरांक से गुणा करना शामिल करती है:
f(b*x)
- यदि
b > 1है, तो ग्राफ क्षैतिज रूप से संकुचित होता है। - यदि
0 < b < 1है, तो ग्राफ क्षैतिज रूप से खींचता है।
उदाहरण:
कार्य f(x) = sqrt(x) को देखें। क्षैतिज प्रसार है:
f(0.5*x)
यह ग्राफ को क्षैतिज रूप से खींचता है।
उपरोक्त SVG आरेख में, नीली वक्र f(x) = sqrt(x) को दर्शाती है, जबकि लाल वक्र f(0.5*x) = sqrt(0.5*x) जो क्षैतिज रूप से खींचती है।
निष्कर्ष
कार्य के परिवर्तन की समझ वास्तविक जीवन अनुप्रयोगों में गणितीय मॉडेल्स के व्यवहार की खोज के लिए महत्वपूर्ण होती है। पर्याप्त रूप से हत्चलनों, प्रतिच्छाया, और विस्तार का पता लगाकर, छात्र कैसे एक कार्य को रूपांतरित करने पर उनके ग्राफ को प्रभावित करेंगे और ये परिवर्तन विभिन्न संदर्भों में कैसे प्रकट होंगे समझ सकते हैं। कार्यों की व्याख्या और परिवर्तन करने की क्षमता छात्रों को मापदंडों के बीच संबंधों का विश्लेषण करने, समाधान को अनुकूलित करने, और जटिल गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए उपकरण प्रदान करती है। इस अवलोकन, जो उदाहरणों और ग्राफिकल चित्रणों से भरा है, कार्यों को विभिन्न परिदृश्यों में बनाए अनुसार कैसे संचालित किया जा सकता है, की मूलभूत समझ बनाने में मदद करता है। अभ्यास के साथ, कक्षा 11 के गणित के छात्र कार्य परिवर्तन की मजबूत समझ विकसित करेंगे, उनके अनुप्रयोग के लाभ उठाने के लिए दैनिक समस्याओं को हल करने और उनकी विश्लेषणात्मक क्षमताओं को enhancing के लिए।
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