Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Comprensión de la rotación en funciones y gráficos


Al estudiar transformaciones en matemáticas, un concepto importante de entender es la “rotación”. Esto implica girar un gráfico alrededor de un punto fijo. Es importante entender cómo la rotación afecta a las funciones y sus gráficos. Discutamos este tema en detalle.

Concepto básico de rotación

Una rotación en geometría es una transformación que gira una figura alrededor de un punto fijo llamado el centro de rotación. En términos de funciones y gráficos, se rota todo el gráfico alrededor de un punto específico.

Centro de rotación

El centro de rotación suele ser un punto en el plano de coordenadas, como el origen (0, 0). También puede ser cualquier otro punto. Al girar una forma, cada punto de la forma gira un ángulo especificado alrededor del centro.

Ángulo de rotación

El ángulo de rotación es el grado de giro alrededor de un punto fijo. Normalmente se mide en grados o radianes. Un ángulo positivo generalmente indica una rotación en sentido anti-horario, mientras que un ángulo negativo indica una rotación en sentido horario.

Reglas de rotación

Cuando ruedas un gráfico 90 grados, 180 grados o 270 grados alrededor del origen, sigues reglas específicas. Veamos estas reglas con ecuaciones.

  • Rotación de 90 grados: Si ruedas un punto ( (x, y) ) 90 grados en sentido antihorario alrededor del origen, se transforma en ( (-y, x) ).
  • Rotación de 180 grados: Para un punto ( (x, y) ), una rotación de 180 grados te da ( (-x, -y) ).
  • Rotación de 270 grados: Una rotación de 270 grados en sentido antihorario resulta en ( (y, -x) ).

Visualización de la rotación con ejemplos

Veamos cómo podemos aplicar estas reglas usando un gráfico de función simple. Considera un punto en el gráfico ((3, 2)).

Ejemplo 1: Rotación de 90 grados

Origen: (3, 2)
Después de 90 grados de rotación: (-2, 3)
Original rotado Figura 1: Rotación de 90 grados del punto (3, 2).

En esta figura, el punto (3, 2) está representado por el círculo rojo. Su posición después de una rotación de 90 grados es el círculo azul en (-2, 3).

Ejemplo 2: Rotación de 180 grados

Origen: (3, 2)
Después de 180 grados de rotación: (-3, -2)
Original rotado Figura 2: Rotación de 180 grados del punto (3, 2).

Aquí, el origen (3, 2) ha sido rotado a (-3, -2).

Ejemplo 3: Rotación de 270 grados

Origen: (3, 2)
Después de rotación de 270°: (2, -3)
Original rotado Figura 3: Rotación de 270 grados del punto (3, 2).

En este caso, nuestro punto se mueve de (3, 2) a (2, -3) después de una rotación de 270 grados.

Rotación de tareas

La idea es la misma que al girar una función completa, pero ahora aplicas la rotación a cada punto que define el gráfico de la función.

Ejemplo: Rotar una función simple

Consideremos la función lineal f(x) = x, que es una línea recta que pasa por el origen, lo que hace que la rotación sea más intuitiva, ya que el origen es un centro común de rotación.

Rotación hasta 90 grados

,
,
,
,
          ,
          ,

Antes de la rotación: f(x) = x. Después de una rotación de 90 grados, la función está alineada con el eje Y, lo que equivale a f(y) = -y para el gráfico rotado.

Rotación hasta 180 grados

,
,
,
      ,
      ,

Antes de la rotación: f(x) = x. Después de una rotación de 180 grados, la función está en la dirección opuesta pero mantiene su alineación, f(x) = -x.

Rotación más avanzada

Aunque los ejemplos básicos que hemos discutido se han centrado principalmente en la rotación alrededor del origen, las rotaciones también pueden ocurrir alrededor de varios puntos, lo que puede implicar manipulaciones matemáticas más complejas.

Rotación alrededor de otros puntos

A veces, puede ser necesario rotar un gráfico de función alrededor de un punto que no es el origen. Supongamos que deseas rotar una función alrededor de un punto (a, b) por un ángulo θ. Para lograr esto, debes:

  1. Mover el centro de rotación al origen restando a de la coordenada x y b de la coordenada y de cada punto.
  2. Aplicar las reglas de rotación discutidas anteriormente.
  3. Volver a mover los puntos sumando a a la coordenada x y b a la coordenada y.

Por lo tanto, al proceder más allá de la rotación sencilla centrada en el origen, el proceso es esencialmente sobre recentrar matemáticamente el gráfico antes y después de aplicar las fórmulas de rotación.

Recorrido por expresiones matemáticas

Para expresar formalmente las rotaciones en el marco funcional, puedes escribir la siguiente fórmula para una rotación en el sentido de las agujas del reloj por un ángulo θ para cualquier punto (x, y):


x' = cos(θ) * (x - a) - sin(θ) * (y - b) + a
y' = sin(θ) * (x - a) + cos(θ) * (y - b) + b

donde (x', y') es el punto a rotar. Usando estos conceptos, puedes mover gráficamente cualquier curva a lo largo o alrededor de cualquier punto arbitrario comprendiendo y usando la matriz de rotación.

Conclusión

Comprender la rotación en términos de funciones y gráficos implica reconocer cómo se manipula una forma con respecto a un punto fijo. Este es un proceso visual y analítico que involucra no solo transformaciones gráficas, sino también cálculos matemáticos precisos para la traslación de ubicaciones.

La rotación es una de varias transformaciones, incluyendo la traslación, la reflexión y el escalado, que nos ayudan a entender y reconfigurar varios aspectos de funciones y gráficos, y proporcionan herramientas útiles para explorar el comportamiento matemático en espacios bidimensionales y tridimensionales.

A través de la práctica y la exploración de estas transformaciones, los estudiantes pueden visualizar mejor los conceptos matemáticos y apreciar la profundidad y variedad del comportamiento de las funciones. Al dominar las rotaciones, los estudiantes mejoran su intuición geométrica y sus habilidades para resolver problemas, lo que proporciona una base para exploraciones matemáticas más avanzadas.


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