11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Esticar e esticar


Em matemática, particularmente funções e gráficos, transformações são operações que mudam a forma geral ou posição de um gráfico. Essas transformações incluem dilatação e alongamento, que são importantes para entender como os gráficos podem ser manipulados. Este guia explorará os conceitos de dilatação e alongamento, dando a você um entendimento mais profundo de como eles funcionam, como diferem e como podem ser aplicados às funções. Vamos nos aprofundar nas transformações verticais e horizontais e apoiar essas explicações com exemplos e recursos visuais.

Entendendo o básico

Uma função pode frequentemente ser representada graficamente como uma curva em uma grade de coordenadas. As transformações modificam essa curva. Os tipos de transformações que afetam a forma do gráfico são conhecidos como alongamento e extensão.

Em termos simples:

  • Escalonamento refere-se a expandir ou comprimir um gráfico por um fator de escala, afetando sua largura, altura ou ambos.
  • Alongamento é um caso especial de dilatação onde a dimensão vertical ou horizontal é alterada enquanto a outra dimensão é mantida constante.

A principal diferença entre dilatação e alongamento é que a dilatação pode afetar igualmente ambas as dimensões do gráfico, enquanto o alongamento modifica o gráfico apenas em uma dimensão específica.

Estiramento e puxamento vertical

Quando nos referimos ao alongamento e dilatação vertical, estamos falando sobre a mudança na coordenada y enquanto a coordenada x permanece inalterada. Considerando a função base f(x), a equação para a transformação vertical é dada como:

f(x) → a * f(x)

Aqui, a é uma constante que atua como um fator de escala. Vamos detalhar:

  • Se a > 1, o gráfico de f(x) é esticado verticalmente. Isso significa que os valores y de todos os pontos são multiplicados por a, tornando o gráfico mais longo.
  • Se 0 < a < 1, o gráfico é comprimido verticalmente, fazendo com que todos os valores y diminuam, tornando o gráfico menor.
  • Se a = 1, então nenhuma alteração ocorre e o gráfico permanece inalterado.
  • Se a = -1, o gráfico é refletido sobre o eixo x.

Exemplo

Considere a função original f(x) = x^2, que é uma parábola simples. Aplicando dilatação vertical com a = 3, obtemos a função:

f(x) = 3 * x^2

Esta transformação alonga a parábola, tornando-a mais estreita. Por outro lado, usando a = 0.5, o gráfico é comprimido:

f(x) = 0.5 * x^2

Visualmente, a parábola parece mais larga quando o valor de y é reduzido pela metade.

y = x^2 y = 3x^2

Estiramento e extensão horizontal

Enquanto as mudanças verticais alteram os valores de y, as mudanças horizontais afetam os valores de x. A fórmula geral é:

f(x) → f(b * x)

A constante b determina a extensão da transformação horizontal:

  • Se b > 1, o gráfico é comprimido horizontalmente. Isso significa que os valores de x são reduzidos e o gráfico parece comprimido para dentro.
  • Se 0 < b < 1, então multiplicar os valores de x por um fator maior que um estende o gráfico horizontalmente.
  • Se b = 1, o gráfico permanece inalterado.

Exemplo

Tomando a mesma função base f(x) = x^2 e aplicando expansão horizontal com b = 2, obtemos:

f(x) = (0.5x)^2 = 0.25x^2

O resultado é uma parábola esticada horizontalmente. Por outro lado, usando b = 0.5, ela é comprimida:

f(x) = (2x)^2 = 4x^2

Visualmente, a parábola parece mais estreita porque o valor de x é quadrado quando dividido por 2.

y = x^2 y = (0.5x)^2

Conversão combinada

As transformações, muitas vezes, não são singulares na natureza. Um gráfico pode ser submetido a transformações verticais e horizontais simultaneamente. Ajustando ambos os fatores de escala, a para vertical e b para horizontal, podemos obter uma combinação de alongamento e dilatação:

f(x) → a * f(b * x)

Usando esta transformação combinada, vários aspectos do gráfico podem ser alterados ao mesmo tempo. É importante lembrar a sequência das operações:

  • Primeiro, aplique a transformação horizontal.
  • Em seguida, prossiga com a transformação vertical.

Exemplo

Aplicando a função dada f(x) = x^2, a = 3 e b = 0.5 obtemos:

f(x) = 3 * (0.5x)^2 = 3 * 0.25x^2 = 0.75x^2

Esta combinação resulta em um gráfico que é esticado verticalmente e comprimido horizontalmente.

Implicações práticas e usos

Entender a dispersão e dispersão tem muitas implicações práticas, especialmente em engenharia e física. As transformações gráficas podem ser usadas para modelar fenômenos do mundo real ou ajustar uma função para alinhar com os dados observados. Considere seus usos:

  • Modelagem de sistemas mecânicos e suas respostas.
  • Design gráfico, onde as imagens podem ser redimensionadas para diferentes telas ou mídias impressas.
  • Análise de dados, onde as transformações ajudam a generalizar resultados.

Conclusão

Esticar e esticar são ferramentas poderosas no conjunto de ferramentas do matemático, proporcionando uma ampla variedade de maneiras de transformar e entender funções graficamente. Através de prática consistente e aplicação, essas transformações tornam-se operações intuitivas, tornando possíveis ajustes gráficos mais sofisticados e proporcionando um maior entendimento sobre o comportamento de várias funções.

Como muitos conceitos matemáticos, a chave para dominar a dilatação e o alongamento é a prática. Trabalhar com diferentes funções, aplicar várias transformações e visualizar os resultados pode aprofundar esse entendimento. Prática combinada com conhecimento teórico garante que esses conceitos se tornem automáticos.


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Esticar e esticar

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