Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Estirar y estirar


En matemáticas, particularmente funciones y gráficos, las transformaciones son operaciones que cambian la forma general o la posición de un gráfico. Estas transformaciones incluyen dilatación y estiramiento, que son importantes para entender cómo se pueden manipular los gráficos. Esta guía explorará los conceptos de dilatación y estiramiento, brindándote una comprensión más profunda de cómo funcionan, en qué se diferencian y cómo se pueden aplicar a las funciones. Nos adentraremos en las transformaciones tanto verticales como horizontales y apoyaremos estas explicaciones con ejemplos y ayudas visuales.

Comprender los conceptos básicos

Una función a menudo se puede representar gráficamente como una curva en una cuadrícula de coordenadas. Las transformaciones modifican esta curva. Los tipos de transformaciones que afectan la forma del gráfico se conocen como estiramiento y extensión.

En términos simples:

  • Escalamiento se refiere a expandir o comprimir un gráfico por un factor de escala, afectando su ancho, altura o ambos.
  • Estiramiento es un caso especial de dilatación donde se cambia ya sea la dimensión vertical o la horizontal mientras que la otra dimensión se mantiene constante.

La principal diferencia entre la dilatación y el estiramiento es que la dilatación puede afectar ambas dimensiones del gráfico por igual, mientras que el estiramiento modifica el gráfico solo en una dimensión específica.

Estiramiento y tracción vertical

Cuando nos referimos al estiramiento y dilatación vertical, estamos hablando del cambio en la coordenada y mientras que la coordenada x permanece sin cambios. Considerando la función base f(x), la ecuación para la transformación vertical se da como:

f(x) → a * f(x)

Aquí, a es una constante que actúa como un factor de escala. Vamos a desglosarlo:

  • Si a > 1, el gráfico de f(x) se estira verticalmente. Esto significa que los valores y de todos los puntos se multiplican por a, haciendo que el gráfico sea más largo.
  • Si 0 < a < 1, el gráfico se comprime verticalmente, causando que todos los valores y disminuyan, haciendo que el gráfico sea más pequeño.
  • Si a = 1, entonces no ocurre ningún cambio y el gráfico permanece sin cambios.
  • Si a = -1, el gráfico se refleja a través del eje x.

Ejemplo

Considera la función original f(x) = x^2, que es una parábola simple. Aplicando dilatación vertical con a = 3 da la función:

f(x) = 3 * x^2

Esta transformación estira la parábola, haciéndola más estrecha. Por el contrario, usar a = 0.5 comprimirá el gráfico:

f(x) = 0.5 * x^2

Visualmente, la parábola parece más ancha cuando el valor y se reduce a la mitad.

y = x^2 y = 3x^2

Estiramiento y extensión horizontal

Mientras que los cambios verticales alteran los valores y, los cambios horizontales afectan los valores x. La fórmula general es:

f(x) → f(b * x)

La constante b determina la magnitud de la transformación horizontal:

  • Si b > 1, el gráfico se comprime horizontalmente. Esto significa que los valores x son reducidos y el gráfico parece comprimido hacia adentro.
  • Si 0 < b < 1, entonces multiplicar los valores x por un factor mayor que uno extiende el gráfico horizontalmente.
  • Si b = 1, el gráfico permanece sin cambios.

Ejemplo

Tomando la misma función base f(x) = x^2 y aplicando expansión horizontal con b = 2, obtenemos:

f(x) = (0.5x)^2 = 0.25x^2

El resultado es una parábola estirada horizontalmente. Por el contrario, usar b = 0.5 la comprime:

f(x) = (2x)^2 = 4x^2

Visualmente, la parábola parece más estrecha porque x se eleva al cuadrado cuando se divide por 2.

y = x^2 y = (0.5x)^2

Conversión combinada

Las transformaciones a menudo no son singulares en su naturaleza. Un gráfico puede estar sujeto a transformaciones tanto verticales como horizontales simultáneamente. Al ajustar ambos factores de escala, a para vertical y b para horizontal, podemos obtener una combinación de estiramiento y dilatación:

f(x) → a * f(b * x)

Usando esta transformación combinada, varios aspectos del gráfico se pueden cambiar al mismo tiempo. Es importante recordar la secuencia de operaciones:

  • Primero, aplica la transformación horizontal.
  • Luego procede con la transformación vertical.

Ejemplo

Aplicando la función dada f(x) = x^2, a = 3 y b = 0.5 da:

f(x) = 3 * (0.5x)^2 = 3 * 0.25x^2 = 0.75x^2

Esta combinación resulta en un gráfico que está estirado verticalmente y comprimido horizontalmente.

Implicaciones prácticas y usos

Entender la dispersión y la dispersión tiene muchas implicaciones prácticas, especialmente en ingeniería y física. Las transformaciones gráficas se pueden usar para modelar fenómenos del mundo real o ajustar finamente una función para alinearse con datos observados. Considera su uso:

  • Modelado de sistemas mecánicos y sus respuestas.
  • Diseño gráfico, donde las imágenes se pueden redimensionar para diferentes pantallas o medios impresos.
  • Análisis de datos, donde las transformaciones ayudan a generalizar los resultados.

Conclusión

El estiramiento y el estiramiento son herramientas poderosas en la caja de herramientas del matemático, que proporcionan una amplia variedad de maneras para transformar y entender funciones gráficamente. A través de la práctica constante y la aplicación, estas transformaciones se vuelven operaciones intuitivas, permitiendo ajustes más sofisticados de gráficos y proporcionando una mayor visión del comportamiento de diversas funciones.

Al igual que muchos conceptos matemáticos, la clave para dominar la dilatación y el estiramiento es la práctica. Trabajar con diferentes funciones, aplicando varias transformaciones y visualizando los resultados puede profundizar este entendimiento. La práctica combinada con el conocimiento teórico asegura que estos conceptos se vuelvan una segunda naturaleza.


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