翻译

在研究函数和图表的过程中，了解变换对于理解图表的行为非常重要。变换的一种重要类型是平移。平移实质上是将图形在坐标平面上移动。它们不会改变图形的形状或方向；而是简单地将它移动到不同的位置。

什么是平移？

在数学中，平移是指在不旋转、不调整大小或改变的情况下移动图形、线条或图表。当我们平移一个图表时，我们会水平、垂直或同时滑动它。在函数符号中，平移涉及对函数或其变量加上或减去常数。

平移的类型

平移主要有两种类型：

• 水平平移：将图形向左或向右移动。
• 垂直平移：将图形向上或向下移动。

水平平移

水平平移涉及将图形向右或向左移动一定数量的单位。函数f(x)通过将变量更改为f(x - k)进行水平平移，其中k是图形被平移的单位数。

• 如果k > 0，图形向右移动k个单位。
• 如果k < 0，图形向左移动|k|个单位。

水平平移的例子

考虑函数f(x) = x^2，这是一个基本的二次函数，形成一个顶点在原点(0,0)的抛物线。

 f(x) = (x - 3)^2

这是将函数f(x) = x^2向右平移3个单位后的结果。

垂直平移

垂直平移涉及将图形向上或向下移动一定数量的单位。函数f(x)通过对整个函数加上一个常数c来实现垂直平移：f(x) + c。

• 如果c > 0，图形向上移动c个单位。
• 如果c < 0，图形向下移动|c|个单位。

垂直平移的例子

考虑函数f(x) = x^2。

 f(x) = x^2 + 4

这个函数将f(x) = x^2向上平移4个单位。

组合平移

平移可以组合以同时水平和垂直移动图形。例如，您可能会有一个经历两种平移的函数：

 f(x) = (x - h)^2 + k

在这种情况下，h表示水平平移，k表示垂直平移。函数f(x) = (x - h)^2 + k将原始函数f(x) = x^2向右平移h个单位并向上平移k个单位。

• 如果h > 0，向右移动h个单位；如果h < 0，向左移动|h|个单位。
• 如果k > 0，向上移动k个单位；如果k < 0，向下移动|k|个单位。

组合平移的例子

让我们将水平和垂直平移应用于函数f(x) = x^2：

 f(x) = (x - 2)^2 + 3

在这里，函数被向右平移2个单位并向上平移3个单位。

理解平移的影响

在数学中，平移意味着理解每种操作是如何影响图形的状态的。一旦你了解了平移的工作原理，就会更容易预测图形变化并将这种知识应用于复杂问题中。

实践例子和练习

为了更清楚地理解这些概念，让我们考虑更多的例子和练习：

例子1

考虑这个函数：

 g(x) = (x + 1)^2 - 2

确定对f(x) = x^2的平移：

• 图形水平向左平移1个单位，因为x + 1代表朝相反方向的运动。
• 图形垂直向下平移2个单位，因为- 2项会减少每个对应x值的输出。

例子2

让我们解决这个平移问题：

 h(x) = 2x - 5

注意：

• 没有水平平移，因为没有影响x的函数参数的加法或减法。
• 垂直平移是向下移动5个单位，即每个图上的点都平行地移动。

关键点

• 平移只影响图形的位置，不影响其大小或形状。
• 水平和垂直平移可以同时进行。
• 平移是建立知识图谱和直观理解任务所必需的。

互动视图

下次当你看到函数修改时，想象这些常数是如何在平面上移动你的图形的。理解平移不仅有助于图形绘制，还能增强不通过计算预测函数行为的能力。

结论

一旦了解了h（水平）和k（垂直）的正负值的使用，翻译图形就变得简单明了。这种理解为深入研究如反射和旋转等转换提供了基础，在数学分析中扮演重要角色。

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