Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Функции и графики → Преобразование функций ↓


Перевод


В изучении функций и графиков важно понимать преобразования, чтобы понять поведение графиков. Важным типом преобразования является перевод. Переводы по существу представляют собой сдвиги графика в координатной плоскости. Они не изменяют форму или ориентацию графика; скорее, они просто перемещают его в другое место.

Что такое перевод?

Перевод в математике означает перемещать фигуру, линию или график, не вращая, не изменяя размер или не изменяя его. Когда мы переводим график, мы сдвигаем его по горизонтали, вертикали или обоим направлениям. В записи функции перевод включает сложение или вычитание постоянных к функции или ее переменным.

Типы переводов

Существует два основных типа перевода:

  • Горизонтальный перевод: Перемещение графика влево или вправо.
  • Вертикальный перевод: Перемещение графика вверх или вниз.

Горизонтальный перевод

Горизонтальный перевод включает сдвиг графика вправо или влево на определенное количество единиц. Функция f(x) переводится горизонтально изменением переменной на f(x - k), где k — количество единиц, на которое смещен график.

  • Если k > 0, график перемещается на k единиц вправо.
  • Если k < 0, график перемещается на |k| единиц влево.

Пример горизонтального перевода

Рассмотрим функцию f(x) = x^2, которая является базовой квадратичной функцией, формирующей параболу с вершиной в начале координат (0,0).

 f(x) = (x - 3)^2

Это перевод функции f(x) = x^2 на 3 единицы вправо.

f(x) = (x - 3)^2 f(x) = x^2

Вертикальный перевод

Вертикальный перевод включает перемещение графика вверх или вниз на определенное количество единиц. Функция f(x) переводится вертикально путем добавления постоянной c ко всей функции: f(x) + c.

  • Если c > 0, график перемещается вверх на c единиц.
  • Если c < 0, график перемещается вниз на |c| единиц.

Пример вертикального перевода

Рассмотрим функцию f(x) = x^2.

 f(x) = x^2 + 4

Эта функция приводит к преобразованию f(x) = x^2 на 4 единицы вверх.

f(x) = x^2 + 4 f(x) = x^2

Комбинирование переводов

Переводы могут быть объединены для перемещения графика как по горизонтали, так и по вертикали. Например, можно иметь функцию, которая проходит оба типа переводов:

 f(x) = (x - h)^2 + k

В этом случае h представляет горизонтальный сдвиг, а k — вертикальный сдвиг. Функция f(x) = (x - h)^2 + k преобразует оригинальную функцию f(x) = x^2 вправо на h единиц и вверх на k единиц.

  • Если h > 0, перемещаем h единиц вправо; если h < 0, перемещаем |h| единиц влево.
  • Если k > 0, перемещаем вверх на k единиц; если k < 0, перемещаем вниз на |k| единиц.

Пример комбинированного перевода

Применим одновременно горизонтальный и вертикальный перевод к функции f(x) = x^2:

 f(x) = (x - 2)^2 + 3

Здесь функция переводится на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх.

f(x) = (x - 2)^2 + 3 f(x) = x^2

Понимание эффектов перевода

Перевод в математике означает понимать, как каждая операция влияет на состояние графика. Как только вы поймете, как работает перевод, станет проще предсказывать изменения графиков и применять эти знания к сложным задачам.

Практические примеры и упражнения

Чтобы сделать эти концепции ясными, рассмотрим еще несколько примеров и упражнений:

Пример 1

Рассмотрим эту функцию:

 g(x) = (x + 1)^2 - 2

Определите перевод, примененный к f(x) = x^2:

  • График сдвинут по горизонтали на 1 единицу в лево, так как x + 1 представляет движение в противоположном направлении.
  • График сдвинут по вертикали вниз на 2 единицы, так как - 2 уменьшает выходное значение для каждого соответствующего x.

Пример 2

Решим этот перевод:

 h(x) = 2x - 5

Обратите внимание:

  • Горизонтального перевода нет, так как в аргумент функции не добавляется и не вычитается, что могло бы повлиять на x.
  • Вертикальный перевод составляет 5 единиц вниз, что переводит каждую точку на графике параллельно.

Ключевые моменты

  • Переводы влияют только на положение графика, а не на его размер или форму.
  • Горизонтальный и вертикальный перевод могут выполняться одновременно.
  • Перевод необходим для построения графа знаний и понимания задач визуально.

Интерактивные виды

В следующий раз, когда вы увидите модификацию функции, представьте, как эти постоянные перемещают ваш график на плоскости. Понимание переводов не только помогает в построении графиков, но и улучшает способность предсказывать поведение функций без вычислений.

Заключение

Как только использование положительных и отрицательных значений для h (горизонтальный) и k (вертикальный) понятно, перевод графиков становится простым. Это понимание дает представление о модификациях функций и о том, как они выглядят графически, что закладывает основу для более углубленных изучений преобразований, таких как отражения и вращения в математическом анализе.


Класс 11 → 2.2.1


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (2.2)
Преобразование функций
следующая (2.2.2) →
Понимание отражений в преобразованиях функций

комментарии 



Перевод

https://www.buddymath.com/g11/2.2.1?bmal=ru