11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Tradução


No estudo de funções e gráficos, é importante entender transformações para compreender o comportamento dos gráficos. Um tipo importante de transformação é uma translação. Translações são essencialmente deslocamentos do gráfico no plano coordenado. Elas não mudam a forma ou a orientação do gráfico; ao invés disso, elas simplesmente o movem para uma localização diferente.

O que é translação?

Translação em matemática significa mover uma figura, linha ou gráfico sem girá-lo, redimensioná-lo ou alterá-lo. Quando traduzimos um gráfico, deslizamos horizontalmente, verticalmente ou ambos. Na notação de função, a translação envolve adicionar ou subtrair constantes à função ou às suas variáveis.

Tipos de translação

Existem dois principais tipos de translação:

  • Translação horizontal: Mover o gráfico para a esquerda ou direita.
  • Translação vertical: Mover o gráfico para cima ou para baixo.

Translação horizontal

A translação horizontal envolve deslocar o gráfico para a direita ou esquerda por um certo número de unidades. A função f(x) é traduzida horizontalmente alterando a variável para f(x - k), onde k é o número de unidades pelo qual o gráfico é deslocado.

  • Se k > 0, o gráfico move k unidades para a direita.
  • Se k < 0, o gráfico move |k| unidades para a esquerda.

Exemplo de translação horizontal

Considere a função f(x) = x^2, que é uma função quadrática básica que forma uma parábola com seu vértice na origem (0,0).

 f(x) = (x - 3)^2

Esta é a translação da função f(x) = x^2 por 3 unidades para a direita.

f(x) = (x - 3)^2 f(x) = x^2

Translação vertical

A translação vertical envolve mover o gráfico para cima ou para baixo por um certo número de unidades. A função f(x) é traduzida verticalmente ao adicionar uma constante c à função inteira: f(x) + c.

  • Se c > 0, o gráfico move-se para cima c unidades.
  • Se c < 0, o gráfico move-se para baixo |c| unidades.

Exemplo de translação vertical

Considere a função f(x) = x^2.

 f(x) = x^2 + 4

Esta função resulta em uma transformação f(x) = x^2 4 unidades para cima.

f(x) = x^2 + 4 f(x) = x^2

Combinando translações

As translações podem ser combinadas para mover o gráfico tanto horizontalmente quanto verticalmente. Por exemplo, você pode ter uma função que sofre ambos os tipos de translações:

 f(x) = (x - h)^2 + k

Neste caso, h representa o deslocamento horizontal, e k representa o deslocamento vertical. A função f(x) = (x - h)^2 + k transforma a função original f(x) = x^2 para a direita por h unidades e para cima por k unidades.

  • Se h > 0, mova h unidades para a direita; se h < 0, mova |h| unidades para a esquerda.
  • Se k > 0, mova para cima k unidades; se k < 0, mova para baixo |k| unidades.

Exemplo de uma translação combinada

Vamos aplicar tanto a translação horizontal quanto a vertical na função f(x) = x^2:

 f(x) = (x - 2)^2 + 3

Aqui, a função é traduzida 2 unidades para a direita e 3 unidades para cima.

f(x) = (x - 2)^2 + 3 f(x) = x^2

Compreendendo os efeitos da translação

Translação em matemática significa entender como cada operação afeta o estado do gráfico. Uma vez que se entende como a translação funciona, torna-se mais fácil prever mudanças gráficas e aplicar esse conhecimento a problemas complexos.

Exemplos práticos e exercícios

Para tornar estes conceitos claros, vamos considerar alguns exemplos e exercícios adicionais:

Exemplo 1

Considere esta função:

 g(x) = (x + 1)^2 - 2

Determine a translação aplicada a f(x) = x^2:

  • O gráfico é deslocado horizontalmente 1 unidade para a esquerda, porque x + 1 representa movimento na direção oposta.
  • O gráfico é deslocado verticalmente para baixo por 2 unidades porque o termo - 2 diminui o resultado para cada valor correspondente de x.

Exemplo 2

Vamos resolver esta translação:

 h(x) = 2x - 5

Preste atenção aqui:

  • Não há translação horizontal porque não há adição ou subtração ao argumento da função afetando x.
  • A translação vertical é 5 unidades para baixo, o que traduz cada ponto no gráfico paralelamente.

Pontos chave

  • Translações afetam apenas a posição do gráfico, não seu tamanho ou forma.
  • A translação horizontal e vertical pode ser feita simultaneamente.
  • A translação é necessária para construir um gráfico de conhecimento e entender as tarefas visualmente.

Vistas interativas

Na próxima vez que você vir uma modificação de função, imagine como essas constantes movem o seu gráfico no plano. Compreender translações não apenas ajuda na desenhar gráficos, mas também melhora sua capacidade de prever comportamentos de funções sem cálculos.

Conclusão

Uma vez que o uso de valores positivos e negativos para h (horizontal) e k (vertical) é entendido, traduzir gráficos se torna direto. Esta compreensão fornece insight sobre as modificações de funções e como elas aparecem graficamente, o que estabelece a base para estudos mais avançados em transformações como reflexões e rotações na análise matemática.


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