変換

関数とグラフの研究において、その挙動を理解するためには変換を理解することが重要です。重要な変換の一つが平行移動です。平行移動は、座標平面でグラフを移動させることです。グラフの形や向きは変えず、単に別の場所に移動させるだけです。

平行移動とは？

数学における平行移動とは、回転、サイズ変更、変形せずに図形、直線、またはグラフを移動させることを意味します。グラフを平行移動するときは、水平方向、垂直方向、またはその両方にスライドします。関数表記では、関数またはその変数に定数を加減することで平行移動が行われます。

平行移動の種類

平行移動には主に2つの種類があります：

• 水平移動：グラフを左右に移動させる。
• 垂直移動：グラフを上下に移動させる。

水平移動

水平移動は、グラフを一定の単位数だけ右または左にシフトさせることです。関数f(x)は、変数をf(x - k)に変えることで水平に移されます。ここで、kはグラフがシフトされる単位数です。

• もしk > 0であれば、グラフはk単位右に移動します。
• もしk < 0であれば、グラフは|k|単位左に移動します。

水平移動の例

基本的な二次関数f(x) = x^2を考えてみましょう。この関数はオリジナルの頂点が原点(0,0)の放物線を形成します。

 f(x) = (x - 3)^2

これは、関数f(x) = x^2を右に3単位平行移動したものです。

垂直移動

垂直移動は、グラフを一定の単位数だけ上下に移動させることです。関数f(x)は、関数全体に定数cを加えることで垂直に移動されます：f(x) + c。

• もしc > 0であれば、グラフは上にc単位移動します。
• もしc < 0であれば、グラフは下に|c|単位移動します。

垂直移動の例

関数f(x) = x^2を考えてみましょう。

 f(x) = x^2 + 4

この関数はf(x) = x^2から上に4単位移動した変換です。

平行移動の組み合わせ

平行移動は、水平移動と垂直移動の両方を組み合わせて行うことができます。例えば、次のような関数では両方の平行移動が行われます：

 f(x) = (x - h)^2 + k

この場合、hは水平移動を、kは垂直移動を表します。関数f(x) = (x - h)^2 + kは、オリジナルの関数f(x) = x^2を右にh単位、上にk単位移動します。

• もしh > 0であれば、h単位右に移動し、h < 0であれば、|h|単位左に移動します。
• もしk > 0であれば、k単位上に移動し、k < 0であれば、|k|単位下に移動します。

複合平行移動の例

関数f(x) = x^2に水平移動と垂直移動の両方を適用してみましょう：

 f(x) = (x - 2)^2 + 3

ここでは、関数は右に2単位、上に3単位移動します。

平行移動の影響を理解する

数学における平行移動とは、各操作がグラフの状態にどのように影響を与えるかを理解することを意味します。平行移動の仕組みを理解すると、グラフの変化を予測し、この知識を複雑な問題に適用することが簡単になります。

実際の例と練習問題

これらの概念を明確にするために、いくつかの例と練習問題を考えてみましょう：

例1

次の関数を考えてみましょう：

 g(x) = (x + 1)^2 - 2

関数f(x) = x^2に適用される平行移動を求めてください：

• x + 1は反対方向の動きを示すため、グラフは水平に1単位左に移動します。
• - 2項は各対応するxの値に対して出力を減少させるため、グラフは垂直に下に2単位移動します。

例2

この平行移動を解いてみましょう：

 h(x) = 2x - 5

ここに注意してください：

• 関数引数に対する加算または減算がないため、水平移動は存在しません。
• 垂直移動は5単位下向きであり、グラフ上のすべての点を平行に移動させます。

キーポイント

• 平行移動はグラフの形や大きさに影響を与えず、位置だけを変えます。
• 水平移動と垂直移動は同時に行うことができます。
• 平行移動は知識グラフを構築し、それを視覚的に理解するために必要です。

インタラクティブビュー

次に関数の変更を見たときには、これらの定数がグラフを平面上でどのように動かすかを想像してみてください。平行移動を理解することは、グラフを描くことを助けるだけでなく、計算せずに関数の動作を予測する能力を向上させます。

結論

h（水平）およびk（垂直）の正負の値の使い方を理解すれば、グラフの平行移動は簡単になります。この理解は、関数の変更がグラフィックにどのように表示されるかについての洞察を提供し、反射や回転などの数学的分析におけるより高度な研究への基礎を築きます。

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