Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

Grado 11 → Funciones y gráficos → Conversión de funciones ↓


Traducción


En el estudio de funciones y gráficos, es importante entender las transformaciones para comprender el comportamiento de los gráficos. Un tipo importante de transformación es una traslación. Las traslaciones son esencialmente desplazamientos del gráfico en el plano de coordenadas. No cambian la forma ni la orientación del gráfico; simplemente lo mueven a una ubicación diferente.

¿Qué es la traslación?

La traslación en matemáticas significa mover una figura, línea o gráfico sin rotarlo, redimensionarlo o alterarlo. Cuando trasladamos un gráfico, lo deslizamos horizontalmente, verticalmente o ambos. En notación de funciones, la traslación implica sumar o restar constantes a la función o sus variables.

Tipos de traslación

Hay dos tipos principales de traslación:

  • Traslación horizontal: Mover el gráfico a la izquierda o a la derecha.
  • Traslación vertical: Mover el gráfico hacia arriba o hacia abajo.

Traslación horizontal

La traslación horizontal implica desplazar el gráfico hacia la derecha o izquierda por un cierto número de unidades. La función f(x) se traslada horizontalmente cambiando la variable a f(x - k), donde k es el número de unidades por las que se desplaza el gráfico.

  • Si k > 0, el gráfico se mueve k unidades a la derecha.
  • Si k < 0, el gráfico se mueve |k| unidades a la izquierda.

Ejemplo de traslación horizontal

Considera la función f(x) = x^2, que es una función cuadrática básica que forma una parábola con su vértice en el origen (0,0).

 f(x) = (x - 3)^2

Esta es la traslación de la función f(x) = x^2 por 3 unidades a la derecha.

f(x) = (x - 3)^2 f(x) = x^2

Traslación vertical

La traslación vertical implica mover el gráfico hacia arriba o hacia abajo por un cierto número de unidades. La función f(x) se traslada verticalmente sumando una constante c a toda la función: f(x) + c.

  • Si c > 0, el gráfico se mueve hacia arriba c unidades.
  • Si c < 0, el gráfico se mueve hacia abajo |c| unidades.

Ejemplo de traslación vertical

Considera la función f(x) = x^2.

 f(x) = x^2 + 4

Esta función resulta en una transformación f(x) = x^2 4 unidades hacia arriba.

f(x) = x^2 + 4 f(x) = x^2

Combinando traslaciones

Las traslaciones pueden combinarse para mover el gráfico tanto horizontal como verticalmente. Por ejemplo, podrías tener una función que sufre ambos tipos de traslaciones:

 f(x) = (x - h)^2 + k

En este caso, h representa el desplazamiento horizontal y k representa el desplazamiento vertical. La función f(x) = (x - h)^2 + k transforma la función original f(x) = x^2 hacia la derecha por h unidades y hacia arriba por k unidades.

  • Si h > 0, se mueve h unidades a la derecha; si h < 0, se mueve |h| unidades a la izquierda.
  • Si k > 0, se mueve hacia arriba k unidades; si k < 0, se mueve hacia abajo |k| unidades.

Ejemplo de una traslación combinada

Apliquemos tanto traslación horizontal como vertical a la función f(x) = x^2:

 f(x) = (x - 2)^2 + 3

Aquí, la función se traslada 2 unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba.

f(x) = (x - 2)^2 + 3 f(x) = x^2

Entendiendo los efectos de la traslación

La traslación en matemáticas significa entender cómo cada operación afecta el estado del gráfico. Una vez que entiendes cómo funciona la traslación, se vuelve más fácil predecir cambios gráficos y aplicar este conocimiento a problemas complejos.

Ejemplos prácticos y ejercicios

Para aclarar estos conceptos, consideremos algunos ejemplos y ejercicios:

Ejemplo 1

Considera esta función:

 g(x) = (x + 1)^2 - 2

Determina la traslación aplicada a f(x) = x^2:

  • El gráfico se desplaza horizontalmente 1 unidad a la izquierda, porque x + 1 representa un movimiento en la dirección opuesta.
  • El gráfico se desplaza verticalmente hacia abajo por 2 unidades porque el término - 2 disminuye el output para cada valor correspondiente de x.

Ejemplo 2

Resolvamos esta traslación:

 h(x) = 2x - 5

Presta atención aquí:

  • No existe traslación horizontal porque no hay suma o resta a la función que afecte al argumento x.
  • La traslación vertical es 5 unidades hacia abajo, lo que traslada cada punto en el gráfico paralelamente.

Puntos clave

  • Las traslaciones solo afectan la posición del gráfico, no su tamaño o forma.
  • La traslación horizontal y vertical se puede realizar simultáneamente.
  • La traslación es necesaria para construir un gráfico de conocimiento y entender las tareas visualmente.

Vistas interactivas

La próxima vez que veas una modificación de función, imagina cómo estos constantes mueven tu gráfico en el plano. Entender las traslaciones no solo ayuda en el dibujo de gráficos, sino que también mejora tu habilidad para predecir comportamientos de funciones sin cálculos.

Conclusión

Una vez que se entiende el uso de valores positivos y negativos para h (horizontal) y k (vertical), trasladar gráficos se vuelve sencillo. Este entendimiento proporciona una visión de las modificaciones de funciones y cómo aparecen gráficamente, lo que sienta las bases para estudios más avanzados en transformaciones como las reflexiones y rotaciones en el análisis matemático.


Grado 11 → 2.2.1


U
username
0%
completado en Grado 11

← Anterior (2.2)
Conversión de funciones
Siguiente (2.2.2) →
Entender las reflexiones en transformaciones de funciones

Comentarios 



Traducción

https://www.buddymath.com/g11/2.2.1?bmal=es