कार्य के प्रकार

एक फ़ंक्शन बीजगणित और कैलकुलस में एक मौलिक अवधारणा है जिसका उपयोग दो सेटों के बीच संबंधों का वर्णन करने के लिए किया जाता है। गणित में, एक फ़ंक्शन यह वर्णन करता है कि एक सेट से प्रत्येक इनपुट (x-मूल्य) कैसे किसी अन्य सेट में ठीक एक आउटपुट (y-मूल्य) से संबंधित होता है। एक फ़ंक्शन को अक्सर f(x) के रूप में लिखा जाता है जहाँ f फ़ंक्शन का नाम है, और x इनपुट मूल्य या परिवर्तनीय है।

रैखिक कार्य

रैखिक कार्य सबसे सरल प्रकार के कार्य होते हैं जहाँ ग्राफ एक सीधी रेखा होती है। रैखिक कार्य का सामान्य रूप है:

f(x) = mx + b

जहाँ m रेखा की ढलान है, और b y-अवरोधक है, या वह बिंदु जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास एक कार्य है:

f(x) = 2x + 3

ढलान 2 है, जिसका मतलब है कि रेखा 2 इकाइयाँ बढ़ती है जब 1 इकाई दाएँ जाती है। y-अवरोधक 3 है, जो यह दर्शाता है कि रेखा y-अक्ष को बिंदु (0, 3) पर काटती है।

रैखिक कार्यों के उदाहरण:

कुछ उदाहरण शामिल हैं:

f(x) = 5x - 1

f(x) = -3x + 4

f(x) = x

प्रत्येक कार्य में, आप m और b की पहचान कर सकते हैं और इन मानकों के आधार पर रेखा कहां होगी, यह अनुमान लगा सकते हैं।

द्विघात कार्य

द्विघात कार्य में उन अवधियों को शामिल किया जाता है जहाँ परिवर्तनशील वर्गीकृत होता है। इसका सामान्य रूप है:

f(x) = ax^2 + bx + c

जहाँ a, b, और c स्थिरांक होते हैं। द्विघात कार्य एक परवलय ग्राफ बनाते हैं। उदाहरण के लिए, विचार करें:

f(x) = x^2 + 2x + 1

इस कार्य में, परवलय ऊपर की ओर खुलता है और इसका शीर्ष बिंदु x = -b/(2a) सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है। a के लिए, परवलय ऊपर की ओर खुलता है, जो एक "U" आकार की तरह होता है, और a के लिए, यह नीचे की ओर खुलता है।

द्विघात कार्यों के उदाहरण:

कुछ द्विघात कार्य हैं:

f(x) = 2x^2 + 3x + 5

f(x) = -x^2 + 4x - 7

f(x) = x^2

घनीय कार्य

घनीय कार्य वे कार्य होते हैं जिनमें x की उच्चतम शक्ति 3 होती है। सामान्य रूप है:

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

घनीय कार्यों के कई प्रकार के आकार होते हैं, लेकिन इनमें हमेशा एक घुमाव शामिल होता है, जिसकी ढलान आमतौर पर बदलती रहती है। उदाहरण के लिए:

f(x) = x^3 - 3x^2 + x

यह एक क्लासिक घनीय व्यवहार दिखाता है जहाँ ग्राफ में एक या दो परिवर्तन बिंदु हो सकते हैं।

घनीय कार्यों के उदाहरण:

उदाहरण हैं:

f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x + 5

f(x) = -2x^3 + x^2 - x + 7

f(x) = x^3

घातीय कार्य

घातीय कार्यों में गुणांक x होता है और वे इस रूप में होते हैं:

f(x) = a * b^x

यहाँ a एक स्थिरांक है, b घातीय कार्य का आधार है, और x गुणांक है। ये कार्य तेज गति से वृद्धि या कमी दिखाते हैं, यह निर्भर करता है कि b 1 से बड़ा है या 0 और 1 के बीच है। उदाहरण के लिए:

f(x) = 2 * 3^x

घातीय कार्यों के ग्राफ ऊपरी दिशा में बहुत तेजी से वृद्धि दिखाते हैं, या यदि कार्य घट रहा है तो क्षय को दिखाते हैं।

घातीय कार्यों के उदाहरण:

कुछ विशिष्ट उदाहरण इस प्रकार हैं:

f(x) = 5 * (1/2)^x

f(x) = 3^x

f(x) = 10 * 2^x

लघुगणकीय कार्य

लघुगणकीय कार्य घातीय कार्य का व्युत्क्रम होता है और इसका रूप होता है:

f(x) = log_b(x)

आधार b एक धनात्मक संख्या होती है जो 1 के बराबर नहीं होती। लघुगणकीय कार्य, घातीय कार्यों की तुलना में धीमी गति से बढ़ते हैं। उदाहरण के लिए:

f(x) = log_2(x)

लघुगणकीय कार्यों के उदाहरण:

उदाहरण शामिल हैं:

f(x) = log_3(x)

f(x) = log_10(x)

f(x) = ln(x)

त्रिकोणमितीय कार्य

त्रिकोणमितीय कार्य त्रिकोणों के कोणों और आवर्ती घटनाओं से संबंधित होते हैं। सामान्य त्रिकोणमितीय कार्यों में साइन, कोसाइन और टैन्जेंट शामिल हैं, जिन्हें निम्नांकित रूप में दर्शाया गया है:

f(x) = sin(x)

f(x) = cos(x)

f(x) = tan(x)

इन कार्यों के विशिष्ट पैटर्न होते हैं, जो मूल्यों के बीच दोलन करते हैं और अक्सर चक्रीय व्यवहार को मॉडल करते हैं, जैसे तरंगें।

उदाहरण के लिए, एक साइन तरंग प्रत्येक 360 डिग्री या 2π रेडियन पर दोहराती है, और -1 से 1 के बीच मूल्य में भिन्न होती है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के उदाहरण:

उदाहरण हैं:

f(x) = 3 * sin(x)

f(x) = 2 * cos(x)

f(x) = tan(x) + 1

निष्कर्ष

विभिन्न प्रकार के कार्यों को समझना परिवर्तनशीलों के बीच विभिन्न प्रकार के संबंधों का वर्णन करने के लिए एक व्यापक आधारशिला प्रदान करता है। प्रत्येक कार्य के अनूठे उद्देश्यों और विशेष विशेषताएँ होती हैं, जो उनके ग्राफ के व्यवहार को प्रभावित करती हैं। कार्य प्रकारों की पहचान करके, आप भविष्यवाणी कर सकते हैं कि वे कैसे व्यवहार करते हैं और पैटर्न और डेटा मॉडलिंग में वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल कर सकते हैं।

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