Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Функции и графики → Типы задач ↓


Поштучная работа


В математике поэтапные функции являются важной концепцией, особенно в математике 11 класса. Понимание поэтапных функций поможет ученикам установить связи между алгебраическими выражениями, формами графиков и реальными ситуациями, где разные правила применяются на разных интервалах. Это объяснение углубится в определение, методологию, примеры и применения поэтапных функций.

Что такое поэтапные функции?

Поэтапная функция - это функция, определяемая несколькими подфункциями, каждая из которых применяется к определенному интервалу в области определения. Вместо использования одного выражения для всей области поэтапная функция имеет разные выражения для разных частей области определения. Это означает, что правило для вычисления результата изменяется в зависимости от входного значения.

Поэтапные функции обычно записываются в следующем формате:

f(x) = {
    { выражение1, условие1 }
    { выражение2, условие2 }
    { выражение3, условие3 }
    ,
,

Давайте проанализируем это:

  • выражение1, выражение2, выражение3,...: Это различные подфункции или выражения, которые составляют поэтапную функцию.
  • условие1, условие2, условие3,...: Каждое выражение соответствует условию или интервалу области, для которого это выражение действительно.

Поэтапная функция проверяет условие для каждого значения x, чтобы определить, какое выражение использовать для этого конкретного значения x.

Визуализация задач по частям

Рассмотрим пример для объяснения этой концепции визуально:

Рассмотрим поэтапную функцию, определяемую как:

    f(x) = {
        { x + 2, x < 0 }
        { 3x, 0 ≤ x < 2 }
        { 2x – 1, x ≥ 2 }
    ,

Эта функция имеет три части или секции:

  • Если x < 0, f(x) = x + 2 - это линейная функция с наклоном 1 и пересечением с осью y на уровне 2.
  • Если 0 ≤ x < 2, f(x) = 3x. Это также линейная функция, но она имеет наклон 3 и проходит через начало координат.
  • Если x ≥ 2, f(x) = 2x - 1 снова является линейной функцией с наклоном 2 и пересечением с осью y на уровне -1.

Приведенный выше график показывает поэтапную функцию с тремя линейными сегментами, каждый из которых окрашен по-разному для ясности:

  • Красная линия показывает f(x) = x + 2 для x < 0.
  • Зеленая линия представляет f(x) = 3x для 0 ≤ x < 2.
  • Синяя линия показывает f(x) = 2x - 1 для x ≥ 2.

Решение задач по частям

Когда задана поэтапная функция, ее решение просто означает определение значения функции для конкретного значения x. Шаги для решения поэтапной функции можно изложить следующим образом:

  1. Определите, в какую позицию или интервал попадает данное значение x.
  2. Используйте соответствующее выражение для вычисления значения функции.

Пример 1

Давайте решим поэтапную функцию, определенную ранее, для нескольких значений x:

f(x) = x + 2 где x < 0, f(x) = 3x где 0 ≤ x < 2, f(x) = 2x - 1 где x ≥ 2.

  • Для x = -3: Поскольку -3 < 0, используйте f(x) = x + 2.
    •  f(-3) = -3 + 2 = -1
  • Для x = 0: Поскольку 0 ≤ x < 2, используйте f(x) = 3x.
    •  f(0) = 3(0) = 0
  • Для x = 1.5: Поскольку 0 ≤ x < 2, используйте f(x) = 3x.
    •  f(1.5) = 3(1.5) = 4.5
  • Для x = 2: Поскольку x ≥ 2, используйте f(x) = 2x - 1.
    •  f(2) = 2(2) - 1 = 3
  • Для x = 3: Поскольку x ≥ 2, используйте f(x) = 2x - 1.
    •  f(3) = 2(3) - 1 = 5

Применение поэтапных функций

Поштучные функции широко используются в реальных приложениях. Вот некоторые из основных областей, где они применяются:

  • Налоговые скобки: Налоговые ставки часто меняются на определенных уровнях дохода, что делает налоги отличным примером поэтапного налогообложения. Разные части дохода могут облагаться налогами по разным ставкам.
  • Стоимость доставки: Некоторые компании по доставке взимают разные тарифы в зависимости от веса. Например, первый килограмм может стоить определенную сумму, а последующие килограммы - по другим тарифам.
  • Тарифы на коммунальные услуги: Счета за электроэнергию и воду часто включают в себя поэтапные компоненты, где различные уровни потребления тарифицируются по разным ставкам.
  • Физика: В физике многие задачи можно упростить, разделив их на части. Например, движение объекта, которое перемещается с разными скоростями на разных интервалах.

Пример 2: Налоговая задача из реальной жизни

Предположим, упрощенная налоговая система определена как:

    Tax(Income) = {
        { 0,1 * доход, 0 ≤ доход ≤ 10000 }
        { 1000 + 0,2 * (доход - 10000), 10000 < доход ≤ 20000 }
        { 3000 + 0,3 * (доход - 20000), доход > 20000 }
    ,

Эта функция указывает, что:

  • Налог на доход до $10,000 составляет 10% от дохода.
  • Для дохода между $10,001 и $20,000, налог составляет $1000 плюс 20% от суммы превышения $10,000.
  • Налог на доход свыше $20,000 составляет $3000 плюс 30% от суммы превышения $20,000.

Расчет налога для разных уровней дохода

  • Для дохода $9,000: Поскольку 0 ≤ доход ≤ 10000, используйте 0,1 * доход.
    •  Tax(9000) = 0,1 * 9000 = 900
  • Для дохода $15,000: Поскольку 10000 < доход ≤ 20000, используйте 1000 + 0,2 * (доход - 10000).
    •  Tax(15000) = 1000 + 0,2 * (15000 - 10000) = 1000 + 0,2 * 5000 = 2000
  • Для дохода $30,000: Поскольку доход > 20000, используйте 3000 + 0,3 * (доход - 20000).
    •  Tax(30000) = 3000 + 0,3 * (30000 - 20000) = 3000 + 0,3 * 10000 = 6000

Создание и интерпретация функций поэтапно

Когда вам дан сценарий или проблема, вы можете создать поэтапную функцию следующим образом:

  1. Определение различных разрывов или ситуаций, требующих выполнения различных подзадач.
  2. Выведение выражения, соответствующего каждому интервалу или ситуации.
  3. Убедитесь, что условия охватывают все возможные значения для входной переменной, обычно x.

Пример 3: Проектирование пользовательской поэтапной функции

Предположим, нам нужно разработать функцию для выпускника, который получает стипендию на основе его академических достижений, определяемую следующим образом:

Функция стипендии:

    Стипендия (Процентная оценка) = {
        {$500, Процентная оценка < 60 }
        {$1000 + 10 * (процентная оценка - 60), 60 ≤ процентная оценка < 80 }
        {$2500, процентная оценка ≥ 80 }
    ,
  • Если процентная оценка студента меньше 60, он получает сумму в $500.
  • Если процентная оценка находится между 60 и 80, он получает $1000 плюс $10 за каждый процентный пункт выше 60.
  • Если студент получает 80% или более баллов, он получает сумму в $2500.

Расчет размера стипендии

  • Для процентной оценки 55: используйте $500.
    •  Scholarships(55) = $500
  • Для процентной оценки 75: используйте $1000 + 10 * (процентная оценка - 60).
    •  Стипендия (75) = $1000 + 10 * (75 – 60) = $1000 + 150 = $1150
  • Для 85% оценки: используйте $2500.
    •  Scholarships(85) = $2500

Понимая поэтапные операции, студенты учатся разбивать сложные сценарии на управляемые компоненты, анализировать данные и определять результаты на основе условий ввода. Способность интерпретировать и создавать поэтапные операции становится все более ценной в математике и решении задач в реальном мире. По мере продвижения студентов в математическом образовании они могут ожидать все более сложные задачи, которые используют поэтапные определения для описания разнообразных явлений.


Класс 11 → 2.1.6


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (2.1.5)
Тригонометрические функции
следующая (2.2) →
Преобразование функций

комментарии 



Поштучная работа

https://www.buddymath.com/g11/2.1.6?bmal=ru