11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Trabalho aos pedaços


Em matemática, as funções por partes são um conceito essencial, especialmente na matemática do 11º ano. Entender funções por partes ajudará os alunos a fazer conexões entre expressões algébricas, formas de gráficos e cenários do mundo real onde diferentes regras se aplicam em diferentes intervalos. Esta explicação irá aprofundar a definição, metodologia, exemplos e aplicações de funções por partes.

O que são funções por partes?

Uma função por partes é uma função que é definida por várias subfunções, cada uma das quais se aplica a um intervalo específico no domínio. Em vez de ter uma única expressão para todo o domínio, uma função por partes possui diferentes expressões para diferentes partes de seu domínio. Isso significa que a regra para calcular o resultado muda dependendo do valor de entrada.

Funções por partes geralmente são escritas no seguinte formato:

f(x) = {
    { expressão1, condição1 }
    { expressão2, condição2 }
    { expressão3, condição3 }
    ,
,

Vamos analisar isso:

  • expressão1, expressão2, expressão3,...: Estas são as várias subfunções ou expressões que compõem a função por partes.
  • condição1, condição2, condição3,...: Cada expressão corresponde a uma condição ou intervalo do domínio para o qual a expressão é válida.

Uma função por partes verifica a condição para cada valor de x para decidir qual expressão usar para aquele valor específico de x.

Visualização de tarefas em partes

Vamos pegar um exemplo para explicar este conceito visualmente:

Considere uma função por partes que é definida como:

    f(x) = {
        { x + 2, x < 0 }
        { 3x, 0 ≤ x < 2 }
        { 2x – 1, x ≥ 2 }
    ,

Esta função tem três partes ou seções:

  • Se x < 0, f(x) = x + 2 é uma função linear com inclinação de 1 e intercepto y em 2.
  • Se 0 ≤ x < 2, f(x) = 3x. Esta também é uma função linear, mas tem inclinação de 3 e passa pela origem.
  • Se x ≥ 2, f(x) = 2x - 1 novamente, uma função linear com uma inclinação de 2 e um intercepto y em -1.

O gráfico acima mostra a função por partes com três segmentos de linha, cada um colorido de forma diferente para clareza:

  • A linha vermelha mostra f(x) = x + 2 para x < 0.
  • A linha verde representa f(x) = 3x para 0 ≤ x < 2.
  • A linha azul mostra f(x) = 2x - 1 para x ≥ 2.

Resolviendo tarefas em pedaços

Quando uma função por partes é dada, resolvê-la significa simplesmente determinar o valor da função para um valor específico de x. Os passos para resolver uma função por partes podem ser delineados da seguinte forma:

  1. Determine em qual posição ou intervalo o valor dado de x se encontra.
  2. Use a expressão correspondente para calcular o valor da função.

Exemplo 1

Vamos resolver a função por partes definida anteriormente para vários valores de x:

f(x) = x + 2 onde x < 0, f(x) = 3x onde 0 ≤ x < 2, f(x) = 2x - 1 onde x ≥ 2.

  • Para x = -3: Como -3 < 0, use f(x) = x + 2.
    •  f(-3) = -3 + 2 = -1
  • Para x = 0: Como 0 ≤ x < 2, use f(x) = 3x.
    •  f(0) = 3(0) = 0
  • Para x = 1.5: Como 0 ≤ x < 2, use f(x) = 3x.
    •  f(1.5) = 3(1.5) = 4.5
  • Para x = 2: Como x ≥ 2, use f(x) = 2x - 1.
    •  f(2) = 2(2) - 1 = 3
  • Para x = 3: Como x ≥ 2, use f(x) = 2x - 1.
    •  f(3) = 2(3) - 1 = 5

Aplicações de funções por partes

Funções por partes são amplamente utilizadas em aplicações do mundo real. Aqui estão algumas das principais áreas onde são aplicadas:

  • Faixas de imposto: As taxas de imposto muitas vezes variam em níveis de rendimento específicos, tornando os impostos um exemplo perfeito de tributação em partes. Diferentes porções de renda podem ser taxadas a taxas diferentes.
  • Custos de envio: Algumas empresas de envio cobram diferentes taxas com base no peso. Por exemplo, o primeiro quilograma pode custar uma determinada quantia, e quilos adicionais têm diferentes taxas.
  • Preço de utilidade: As contas de eletricidade e água muitas vezes incluem componentes em partes, onde diferentes faixas de consumo são cobradas a taxas diferentes.
  • Física: Em física, muitos problemas podem ser simplificados dividindo tarefas em partes. Por exemplo, o movimento de um objeto que se move a diferentes velocidades em diferentes intervalos.

Exemplo 2: Problema de imposto do mundo real

Suponha que o sistema tributário simplificado seja definido como:

    Taxa(Rendimento) = {
        { 0.1 * rendimento, 0 ≤ rendimento ≤ 10000 }
        { 1000 + 0.2 * (Rendimento - 10000), 10000 < Rendimento ≤ 20000 }
        { 3000 + 0.3 * (Rendimento - 20000), Rendimento > 20000 }
    ,

Essa função indica que:

  • O imposto sobre o rendimento até $10.000 é 10% do rendimento.
  • Para rendimento entre $10.001 e $20.000, o imposto é $1000 mais 20% do valor acima de $10.000.
  • O imposto sobre rendimentos acima de $20.000 é $3.000 mais 30% do valor acima de $20.000.

Cálculo de imposto para diferentes rendimentos

  • Para rendimento de $9.000: Como 0 ≤ rendimento ≤ 10000, use 0.1 * rendimento.
    •  Taxa(9000) = 0.1 * 9000 = 900
  • Para rendimento de $15.000: Como 10000 < rendimento ≤ 20000, use 1000 + 0.2 * (rendimento - 10000).
    •  Taxa(15000) = 1000 + 0.2 * (15000 - 10000) = 1000 + 0.2 * 5000 = 2000
  • Para um rendimento de $30.000: Como rendimento > 20000, use 3000 + 0.3 * (rendimento - 20000).
    •  Taxa(30000) = 3000 + 0.3 * (30000 - 20000) = 3000 + 0.3 * 10000 = 6000

Criando e interpretando funções por partes

Quando você recebe um cenário ou problema, pode criar uma função por partes da seguinte forma:

  1. Identificando diferentes lacunas ou situações que requerem diferentes subtarefas.
  2. Derive a expressão correspondente a cada intervalo ou situação.
  3. Garantindo que as condições cubram todos os valores possíveis para a variável de entrada, geralmente x.

Exemplo 3: Desenhando uma função por partes personalizada

Suponha que precisamos projetar uma função para um graduado que recebe uma bolsa de estudos baseada em suas conquistas acadêmicas, definida da seguinte forma:

Função de Bolsa:

    Bolsa (Percentual de Notas) = {
        {$500, Percentual de Notas < 60 }
        {$1000 + 10 * (percentual de notas - 60), 60 ≤ percentual de notas < 80 }
        {$2500, percentual de notas ≥ 80 }
    ,
  • Se a porcentagem de nota do aluno for inferior a 60, ele receberá um valor de $500.
  • Se a porcentagem de nota estiver entre 60 e 80, eles receberão $1.000 mais $10 para cada ponto percentual acima de 60.
  • Se o aluno obtiver 80% ou mais, ele/ela receberá um valor de $2500.

Cálculo do valor da bolsa de estudos

  • Para uma porcentagem de nota de 55: Use $500.
    •  Bolsas(55) = $500
  • Para uma porcentagem de nota de 75: Use $1000 + 10 * (percentualNota - 60).
    •  Bolsa (75) = $1000 + 10 * (75 – 60) = $1000 + 150 = $1150
  • Para 85 porcentagem de nota: Use $2500.
    •  Bolsas(85) = $2500

Ao entender operações por partes, os alunos aprendem a dividir cenários complexos em componentes gerenciáveis, analisar dados e determinar resultados com base em condições de entrada. A capacidade de interpretar e construir operações por partes está se tornando cada vez mais valiosa em matemática e resolução de problemas do mundo real. À medida que os alunos avançam em sua educação matemática, eles podem esperar encontrar tarefas mais complexas que usam definições por partes para descrever vários fenômenos.


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