断片的な作業
数学において、区分的関数は特に11年生の数学で重要な概念です。区分的関数を理解することで、代数表現、グラフの形状、異なるルールが異なる区間で適用される現実のシナリオの間に結びつきを作ることができます。この説明では、区分的関数の定義、方法論、例、および応用について深く掘り下げます。
区分的関数とは何ですか？
区分的関数は、いくつかの小関数によって定義される関数であり、それぞれがドメインの特定の区間に適用されます。ドメイン全体に対して単一の表現を持つのではなく、区分的関数はドメインの異なる部分に対して異なる表現を持ちます。これは、入力値によって出力を計算するためのルールが変わることを意味します。
区分的関数は通常、次の形式で書かれます：
f(x) = {
{ 表現1, 条件1 }
{ 表現2, 条件2 }
{ 表現3, 条件3 }
,
,
これを分析してみましょう：
表現1, 表現2, 表現3,...: これらは区分的関数を構成する様々な小関数や表現です。条件1, 条件2, 条件3,...: 各表現は、その表現が有効であるドメインの条件または区間に対応しています。
区分的関数は、特定のx値に対してどの表現を使用するかを決定するために条件を確認します。
作業を部分的に可視化する
この概念を視覚的に説明するための例を見てみましょう：
次のように定義される区分的関数を考えます：
f(x) = {
{ x + 2, x < 0 }
{ 3x, 0 ≤ x < 2 }
{ 2x – 1, x ≥ 2 }
,
この関数には3つの部分があります：
- もし
x < 0なら、f(x) = x + 2は傾きが1でy切片が2の直線です。 - もし
0 ≤ x < 2なら、f(x) = 3xで、これは傾き3で原点を通る直線です。 - もし
x ≥ 2なら、f(x) = 2x - 1で、傾きが2でy切片が-1の直線です。
上記のグラフは、色分けされた3本の線分で示される区分的関数を示しています：
- 赤い線は
f(x) = x + 2を示し、x < 0の場合です。 - 緑の線は
f(x) = 3xを表し、0 ≤ x < 2の場合です。 - 青い線は
f(x) = 2x - 1を示し、x ≥ 2の場合です。
部分ごとに作業を解決する
区分的関数が与えられたとき、それを解決するということは、特定のx値に対する関数の値を決定することを意味します。区分的関数を解決するためのステップは次の通りです：
- 与えられたx値がどの位置または区間にあるかを判断します。
- 対応する表現を使用して関数の値を計算します。
例 1
前に定義した区分的関数をいくつかのx値について解決してみましょう：
f(x) = x + 2はx < 0のとき、f(x) = 3xは0 ≤ x < 2のとき、f(x) = 2x - 1はx ≥ 2のときです。
- x = -3の場合：
-3 < 0なので、f(x) = x + 2を使用します。
f(-3) = -3 + 2 = -1
0 ≤ x < 2なので、f(x) = 3xを使用します。f(0) = 3(0) = 0
0 ≤ x < 2なので、f(x) = 3xを使用します。f(1.5) = 3(1.5) = 4.5
x ≥ 2なので、f(x) = 2x - 1を使用します。f(2) = 2(2) - 1 = 3
x ≥ 2なので、f(x) = 2x - 1を使用します。f(3) = 2(3) - 1 = 5
区分的関数の応用
区分的関数は現実のアプリケーションで広く使用されています。ここに適用される主な分野をいくつか示します：
- 税率の区分： 税率は特定の所得レベルで変わることが多く、税金は区分的課税の完璧な例です。所得の異なる部分が異なる税率で課税されることがあります。
- 送料： 一部の運送会社は、重さに基づいて異なる料金を請求します。例として、最初のキログラムが一定の金額で、それ以降のキログラムに異なる料金がかかるかもしれません。
- ユーティリティ価格設定： 電気や水道料金には、消費量の異なる区分ごとに異なる価格が設定されることが多いです。
- 物理学： 物理学では、多くの問題が分割によって簡略化されます。例えば、異なる区間で異なる速度で移動する物体の運動です。
例 2: 現実の税問題
簡略化された税システムが次のように定義されていると仮定します：
Tax(Income) = {
{ 0.1 * income, 0 ≤ income ≤ 10000 }
{ 1000 + 0.2 * (Income - 10000), 10000 < Income ≤ 20000 }
{ 3000 + 0.3 * (Income - 20000), Income > 20000 }
,
この関数は次のことを示しています：
- $10,000までの所得に対する税は所得の10%です。
- $10,001から$20,000までの所得に対する税は$1000と$10,000を超える金額の20%です。
- $20,000を超える所得に対する税は$3,000と$20,000を超える金額の30%です。
異なる所得に対する税金の計算
- $9,000の所得に対して：
0 ≤ income ≤ 10000なので、0.1 * incomeを使用します。
Tax(9000) = 0.1 * 9000 = 900
10000 < income ≤ 20000なので、1000 + 0.2 * (income - 10000)を使用します。Tax(15000) = 1000 + 0.2 * (15000 - 10000) = 1000 + 0.2 * 5000 = 2000
income > 20000なので、3000 + 0.3 * (income - 20000)を使用します。Tax(30000) = 3000 + 0.3 * (30000 - 20000) = 3000 + 0.3 * 10000 = 6000
区分的に関数を作成し解釈する
シナリオや問題が与えられたときに区分的関数を作成するには以下の手順に従います：
- 異なるギャップや異なるサブタスクが必要な状況を特定します。
- 各区間や状況に対応する表現を導き出します。
- 通常xである入力変数のすべての可能な値を条件がカバーしていることを確認します。
例 3: カスタム区分的関数の設計
学業成績に基づいて奨学金を受け取る卒業生のために次のように定義される関数を設計する必要があると仮定します：
奨学金関数：
Scholarship (Grade Percentage) = {
{$500, Grade Percentage < 60 }
{$1000 + 10 * (grade percentage - 60), 60 ≤ grade percentage < 80 }
{$2500, grade percentage ≥ 80 }
,
- 学生の成績が60未満の場合、$500を与えられます。
- 成績が60から80の間の場合、$1,000に対して成績が60を超えるごとに$10を加えた額を受け取ります。
- 学生が80%以上の成績を取得した場合には、$2500を与えられます。
奨学金額の計算
- 成績が55の場合：
$500を使用します。
奨学金(55) = $500
$1000 + 10 * (gradePercentage - 60)を使用します。奨学金(75) = $1000 + 10 * (75 – 60) = $1000 + 150 = $1150
$2500を使用します。奨学金(85) = $2500
区分的操作を理解することにより、学生は複雑なシナリオを管理可能なコンポーネントに分解し、データを分析し、入力条件に基づいて出力を決定します。区分的操作を解釈し構築できる能力は、数学および現実の問題解決においてますます価値を持つようになっています。学生が数学教育を進めるにつれて、様々な現象を記述するために区分的定義を使用するより複雑なタスクに遭遇することを期待できます。
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