कक्षा 11
  1. बीजगणित  1.1. बीजगणित में श्रेणी और श्रेणियाँ समझना  1.1.1. अंकगणितीय अनुक्रम को समझना  1.1.2. अंकगणितीय श्रेणी  1.1.3. ज्यामितीय अनुक्रमों की समझ  1.1.4. ज्यामितीय श्रेणी को समझना  1.1.5. अभिसरण और अपसरण  1.1.6. बीजगणित में "अनंत तक योग" को समझना  1.1.7. सिग्मा संकेतन  1.2. जटिल संख्याएँ  1.2.1. काल्पनिक और सम्मिश्र संख्याओं को समझना  1.2.2. संयुक्त संख्याओं के साथ संचालन  1.2.3. समिश्र संख्याओं के ध्रुवीय और कार्तीय रूप  1.2.4. सम्मिश्र युग्म  1.2.5. मॉड्यूलस और तर्क  1.2.6. डी म्वायव्र का प्रमेय  1.2.7. जटिल संख्याओं की घातें और मूल  1.3. द्विपद प्रमेय  1.3.1. बहुपद के विस्तार  1.3.2. द्विपद प्रमेय में सामान्य शब्द  1.3.3. द्विपद गुणांक  1.3.4. द्विपद प्रमेय के अनुप्रयोग  1.3.5. पैस्कल की त्रिभुज
  2. फंक्शन और ग्राफ  2.1. कार्य के प्रकार  2.1.1. बहुपद फ़ंक्शन  2.1.2. अनुपातिक फलन  2.1.3. घातीय फलन  2.1.4. लघुगणकीय फलन  2.1.5. त्रिकोणमितीय फलन  2.1.6. खंडों में कार्य  2.2. कार्यों का परिवर्तन  2.2.1. अनुवाद  2.2.2. समारोहों के रूपांतरण में प्रतिबिंब को समझना  2.2.3. खिंचाव और खिंचाव  2.2.4. समझना कार्यों और ग्राफ में रोटेशन  2.3. इनवर्स फंक्शन  2.3.1. प्रतिलोम खोजना  2.3.2. उल्टा फलन के ग्राफ  2.3.3. उलट क्रिया के गुण  2.3.4. प्रतिलोम के लिए प्रतिबंध
  3. त्रिकोणमिति  3.1. त्रिकोणमितीय अनुपात और पहचान  3.1.1. मूल त्रिकोणमितीय अनुपात  3.1.2. त्रिकोणमिति में पाइथागॉरियन आइडेंटिटीज को समझना  3.1.3. योग और अंतर सूत्र  3.1.4. द्विआंग सूत्र  3.1.5. त्रिकोणमिति में अर्द्ध कोण सूत्रों की समझ  3.1.6. गुणोत्तर-योग और योग-प्रति-गुणा सूत्र  3.2. त्रिकोणमितीय समीकरण  3.2.1. त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना  3.2.2. त्रिकोणमितीय समीकरणों में सामान्य समाधान  3.3. त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ  3.3.1. साइन ग्राफ  3.3.2. कोसाइन ग्राफ को समझना  3.3.3. स्पर्शरेखा ग्राफ  3.3.4. एम्प्लिट्यूड और अवधि समायोजन  3.3.5. त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ में चरण परिवर्तन  3.4. त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग  3.4.1. साइन और कोसाइन के नियम  3.4.2. त्रिभुजों का क्षेत्रफल  3.4.3. त्रिकोण हल करना  3.4.4. बियरिंग्स और नेविगेशन
  4. कैलकुलस का परिचय  4.1. कैलकुलस में सीमा और निरंतरता को समझना  4.1.1. लिमिट की अवधारणा  4.1.2. एकतरफा सीमा  4.1.3. कलन में अनंत पर सीमा का समजना  4.1.4. एक फलन की निरंतरता  4.1.5. अविरलता के प्रकार  4.2. भेदभाव  4.2.1. डेरिवेटिव की परिभाषा  4.2.2. अवकलन के नियम  4.2.3. उच्च क्रम के अवकलज  4.2.4. चेन नियम  4.2.5. उत्पाद नियम  4.2.6. कलन में भाजक नियम को समझना  4.3. अंतरण के अनुप्रयोग  4.3.1. परिवर्तन की दर  4.3.2. स्पर्शरेखा और अभिलंब  4.3.3. अधिकतम और न्यूनतम  4.3.4. बढ़ते और घटते हुए फलन को समझना  4.3.5. श्रेष्ठीकरण समस्याएँ  4.3.6. एक वक्र का आरेखण  4.3.7. अंतरकरण के अनुप्रयोगों में संबंधित दरें  4.4. इंटीग्रेशन क्या है?  4.4.1. प्रतिलेखी  4.4.2. अनिश्चित समाकलन  4.4.3. निश्चित समाकलन  4.4.4. कलन का मौलिक प्रमेय  4.4.5. एकीकरण तकनीकें  4.4.6. इंटीग्रेशन में वक्र के नीचे के क्षेत्र को समझना  4.5. समाकलन के अनुप्रयोग  4.5.1. वक्रों के बीच का क्षेत्रफल  4.5.2. घूर्णन धाराओं के ठोसों के आयतन  4.5.3. कैल्कुलस में किसी फलन के औसत मान को समझना
  5. वेक्टर और मैट्रिक्स  5.1. वेक्टर  5.1.1. परिचय  5.1.2. वेक्टर संचालन  5.1.3. डॉट प्रोडक्ट को समझना  5.1.4. क्रॉस गुणन  5.1.5. ज्यामिति में अनुप्रयोग  5.1.6. वेक्टर का प्रक्षेपण  5.2. मैट्रिक्स  5.2.1. मैट्रिक्स के प्रकार  5.2.2. मैट्रिक्स के संचालन को समझना  5.2.3. निर्धारक  5.2.4. मैट्रिक्स का व्युत्क्रम  5.2.5. रेखीय समीकरणों के प्रणालियों को हल करना  5.2.6. क्रैमर का नियम
  6. सम्भाव्यता और सांख्यिकी  6.1. गणित में प्रायिकता को समझना  6.1.1. बुनियादी संभावना अवधारणाएँ  6.1.2. सशर्त प्रायिकता  6.1.3. संभाव्यता में स्वतंत्र और आश्रित घटनाओं का परिचय  6.1.4. बेयस का प्रमेय  6.1.5. संयोजनीय प्रायिकता  6.2. यादृच्छिक चरों  6.2.1. विच्छिन्न यादृच्छिक चर  6.2.2. सतत यादृच्छिक चर  6.2.3. प्रायिकता वितरण  6.3. प्रायिकता वितरण  6.3.1. बाइनोमियल वितरण की समझ  6.3.2. सामान्य वितरण  6.3.3. पॉइसन वितरण  6.3.4. समान वितरण  6.4. सांख्यिकी  6.4.1. केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप  6.4.2. विसरण के माप  6.4.3. डेटा संग्रहण और प्रतिनिधित्व  6.4.4. सहसंबंध और प्रतिगमन  6.4.5. नमूना तकनीकें
  7. निर्देशांक ज्यामिति  7.1. निर्देशांक ज्यामिति में सीधी रेखाएं  7.1.1. निर्देशांक ज्यामिति में ढाल और प्रतिच्छेद रूप  7.1.2. समान रेखाओं में दूरी सूत्र  7.1.3. निर्देशांक ज्यामिति में मध्यबिंदु सूत्र को समझना  7.1.4. रेखाओं के बीच कोण  7.1.5. रेखाओं का समीकरण  7.2. शंकु खंड  7.2.1. वृत्त  7.2.2. परवलय का परिचय  7.2.3. शंक्वाकार खंड में दीर्घवृत्त  7.2.4. शंकु के खंडों में अतिपरवलय को समझना  7.2.5. शंकु की विशेषताएँ  7.2.6. शंकु के पारामेट्रिक समीकरण  7.2.7. शंकवृत्तों का ध्रुवीय निर्देशांक
  8. अंकगणितीय तर्क  8.1. गणितीय तर्क में तर्क का परिचय  8.1.1. वक्तव्य और तार्किक संयोजक  8.1.2. सत्य सारणियाँ  8.1.3. तार्किक समकक्षता  8.1.4. तार्किक गणित में परिमाणक  8.1.5. प्रमाण तकनीकें  8.2. गणितीय तर्क में प्रमाण को समझना  8.2.1. प्रत्यक्ष प्रमाण  8.2.2. अप्रत्यक्ष प्रमाण  8.2.3. विरोधाभास द्वारा प्रमाण को समझना  8.2.4. गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण

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खंडों में कार्य


गणित में, खंडानुसार फलन एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, विशेषकर कक्षा 11 की गणित में। खंडानुसार फलन को समझना छात्रों को अव्यक्तिक समीकरणों, ग्राफ आकृतियों और वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों के बीच संबंध बनाने में मदद करेगा, जहां अलग-अलग नियम अलग-अलग अंतराल पर लागू होते हैं। यह व्याख्या खंडानुसार फलन की परिभाषा, कार्यप्रणाली, उदाहरण और अनुप्रयोगों में गहराई से जाएगी।

खंडानुसार फलन क्या होते हैं?

एक खंडानुसार फलन एक फलन होता है जो कई उप-फलनों द्वारा परिभाषित होता है, जिनमें से प्रत्येक फलन डोमेन के एक विशेष अंतराल पर लागू होता है। पूरी डोमेन के लिए एक ही अभिव्यक्ति होने के बजाय, एक खंडानुसार फलन में इसकी डोमेन के विभिन्न हिस्सों के लिए अलग-अलग अभिव्यक्तियां होती हैं। इसका अर्थ है कि आउटपुट की गणना करने का नियम इनपुट मान के आधार पर बदलता है।

खंडानुसार फलन आमतौर पर निम्नलिखित प्रारूप में लिखा जाता है:

f(x) = {
    { अभिव्यक्ति1, शर्त1 }
    { अभिव्यक्ति2, शर्त2 }
    { अभिव्यक्ति3, शर्त3 }
    ,
,

आइए इसे विश्लेषण करें:

  • अभिव्यक्ति1, अभिव्यक्ति2, अभिव्यक्ति3,...: ये खंडानुसार फलन की विभिन्न उप-फलन या अभिव्यक्तियां हैं।
  • शर्त1, शर्त2, शर्त3,...: प्रत्येक अभिव्यक्ति एक शर्त या डोमेन के अंतराल से मेल खाती है जिसके लिए अभिव्यक्ति मान्य है।

एक खंडानुसार फलन प्रत्येक x-मूल्य के लिए किस अभिव्यक्ति का उपयोग करना है, यह तय करने के लिए शर्त की जांच करता है।

कार्य को टुकड़ों में देखने की प्रक्रिया

आइए इस अवधारणा को दृश्य रूप में समझाने के लिए एक उदाहरण लें:

मान लें कि खंडानुसार फलन इस प्रकार परिभाषित है:

    f(x) = {
        { x + 2, x < 0 }
        { 3x, 0 ≤ x < 2 }
        { 2x – 1, x ≥ 2 }
    ,

इस फलन के तीन भाग या खंड हैं:

  • यदि x < 0, f(x) = x + 2 एक रेखीय फलन है जिसकी ढाल 1 है और y-अवरोधक 2 पर है।
  • यदि 0 ≤ x < 2, f(x) = 3x। यह भी एक रेखीय फलन है, लेकिन इसकी ढाल 3 है और यह मूल बिंदु से गुजरता है।
  • यदि x ≥ 2, f(x) = 2x - 1 भी एक रेखीय फलन है जिसकी ढाल 2 है और y-अवरोधक -1 पर है।

उपर्युक्त ग्राफ़ खंडानुसार फलन को तीन रेखा खंडों के साथ दिखाता है, जिनमें से प्रत्येक को स्पष्टता के लिए अलग-अलग रंगे गए हैं:

  • रेड लाइन f(x) = x + 2 को दर्शाती है जब x < 0।
  • ग्रीन लाइन f(x) = 3x को दर्शाती है जब 0 ≤ x < 2।
  • ब्लू लाइन f(x) = 2x - 1 को दर्शाती है जब x ≥ 2।

टुकड़ों में कार्य को हल करना

जब एक खंडानुसार फलन दिया जाता है, उसे हल करने का अर्थ है किसी विशेष x-मूल्य के लिए फलन के मान का निर्धारण करना। खंडानुसार फलन को हल करने के चरण इस प्रकार हैं:

  1. निर्धारित करें कि दिए गए x-मूल्य का कौन सा स्थान या अंतराल आता है।
  2. सम्बंधित अभिव्यक्ति का उपयोग करके फलन का मान गणना करें।

उदाहरण 1

आइए पहले परिभाषित खंडानुसार फलन को विभिन्न x मूल्यों के लिए हल करें:

f(x) = x + 2 जहां x < 0, f(x) = 3x जहां 0 ≤ x < 2, f(x) = 2x - 1 जहां x ≥ 2।

  • x = -3 के लिए: क्योंकि -3 < 0, f(x) = x + 2 का उपयोग करें।
    •  f(-3) = -3 + 2 = -1
  • x = 0 के लिए: क्योंकि 0 ≤ x < 2, f(x) = 3x का उपयोग करें।
    •  f(0) = 3(0) = 0
  • x = 1.5 के लिए: क्योंकि 0 ≤ x < 2, f(x) = 3x का उपयोग करें।
    •  f(1.5) = 3(1.5) = 4.5
  • x = 2 के लिए: क्योंकि x ≥ 2, f(x) = 2x - 1 का उपयोग करें।
    •  f(2) = 2(2) - 1 = 3
  • x = 3 के लिए: क्योंकि x ≥ 2, f(x) = 2x - 1 का उपयोग करें।
    •  f(3) = 2(3) - 1 = 5

खंडानुसार फलनों का अनुप्रयोग

खंडानुसार फलन वास्तविक दुनिया में व्यापक रूप से प्रयुक्त होते हैं। यहां कुछ प्रमुख क्षेत्रों की सूची है जहां उनका अनुप्रयोग किया जाता है:

  • कर स्लैब: कर की दरें अक्सर आय के विशेष स्तरों पर भिन्न होती हैं, जिससे करों का एक आदर्श उदाहरण बनता है। आय के विभिन्न हिस्सों पर भिन्न दरों पर कर लगाया जा सकता है।
  • शिपिंग लागत: कुछ शिपिंग कंपनियां वजन के आधार पर भिन्न दरें चार्ज करती हैं। उदाहरण के लिए, पहले किलोग्राम का एक निश्चित मूल्य हो सकता है, और अतिरिक्त किलोग्राम में भिन्न दर होती है।
  • उपयोगिता मूल्य निर्धारण: बिजली और पानी के बिलों में अक्सर खंडानुसार घटक शामिल होते हैं, जहां खपत के विभिन्न हिस्सों पर भिन्न दरों पर बिल लगाया जाता है।
  • भौतिकी: भौतिकी में, कई समस्याएं टुकड़ों में कार्यों को विभाजित करके सरल की जा सकती हैं। उदाहरण के लिए, एक वस्तु की गति जो अलग-अलग अंतराल पर भिन्न गति से चलती है।

उदाहरण 2: वास्तविक विश्व कर समस्या

मान लीजिए कि सरल कर प्रणाली इस प्रकार परिभाषित है:

    कर(आय) = {
        { 0.1 * आय, 0 ≤ आय ≤ 10000 }
        { 1000 + 0.2 * (आय - 10000), 10000 < आय ≤ 20000 }
        { 3000 + 0.3 * (आय - 20000), आय > 20000 }
    ,

यह फलन संकेत करता है कि:

  • पहले $10,000 की आय पर कर 10% होता है आय का।
  • आय का $10,001 और $20,000 के बीच, कर $1000 होता है और $10,000 से अधिक राशि की 20%।
  • $20,000 से अधिक आय पर कर $3,000 होता है और $20,000 से अधिक राशि की 30%।

विभिन्न आयों के लिए कर की गणना

  • आय $9,000 के लिए: क्योंकि 0 ≤ आय ≤ 10000, 0.1 * आय का उपयोग करें।
    •  कर(9000) = 0.1 * 9000 = 900
  • आय $15,000 के लिए: क्योंकि 10000 < आय ≤ 20000, 1000 + 0.2 * (आय - 10000) का उपयोग करें।
    •  कर(15000) = 1000 + 0.2 * (15000 - 10000) = 1000 + 0.2 * 5000 = 2000
  • आय $30,000 के लिए: क्योंकि आय > 20000, 3000 + 0.3 * (आय - 20000) का उपयोग करें।
    •  कर(30000) = 3000 + 0.3 * (30000 - 20000) = 3000 + 0.3 * 10000 = 6000

खंडानुसार फलन बनाना और व्याख्या करना

जब आपको एक परिदृश्य या समस्या दी जाती है, तो आप खंडानुसार फलन को निम्नलिखित रूप से बना सकते हैं:

  1. विभिन्न अंतराल या स्थितियों की पहचान करना जो विभिन्न उप-कार्यों की आवश्यकता होती है।
  2. हर अंतराल या स्थिति के लिए सम्बंधित अभिव्यक्ति का निर्माण करें।
  3. सुनिश्चित करें कि स्थितियां इनपुट चर, आमतौर पर x, के सभी संभावित मानों को कवर करती हैं।

उदाहरण 3: एक कस्टम खंडानुसार फलन डिजाइन करना

मान लीजिए हमें एक स्नातक के लिए एक फलन डिज़ाइन करना है जो उसकी शैक्षणिक उपलब्धियों के आधार पर छात्रवृत्ति प्राप्त करता है, जिस प्रकार परिभाषित है:

छात्रवृत्ति फलन:

    छात्रवृत्ति (ग्रेड प्रतिशत) = {
        {$500, ग्रेड प्रतिशत < 60 }
        {$1000 + 10 * (ग्रेड प्रतिशत - 60), 60 ≤ ग्रेड प्रतिशत < 80 }
        {$2500, ग्रेड प्रतिशत ≥ 80 }
    ,
  • यदि छात्र का ग्रेड प्रतिशत 60 से कम है, तो उन्हें $500 की राशि दी जाएगी।
  • यदि ग्रेड प्रतिशत 60 और 80 के बीच है, तो उन्हें $1,000 और हर प्रतिशत बिंदु के लिए $10 प्राप्त होगा जो 60 से अधिक है।
  • यदि छात्र ने 80% या अधिक अंक प्राप्त किए हैं तो उसे $2500 की राशि दी जाएगी।

छात्रवृत्ति की राशि की गणना

  • ग्रेड प्रतिशत के लिए 55: $500 का उपयोग करें।
    •  छात्रवृत्ति(55) = $500
  • ग्रेड प्रतिशत के लिए 75: $1000 + 10 * (ग्रेड प्रतिशत - 60) का उपयोग करें।
    •  छात्रवृत्ति(75) = $1000 + 10 * (75 – 60) = $1000 + 150 = $1150
  • 85 ग्रेड प्रतिशत के लिए: $2500 का उपयोग करें।
    •  छात्रवृत्ति(85) = $2500

खंडानुसार क्रियाओं को समझकर, छात्र जटिल परिदृश्यों को प्रबंधनीय घटकों में विभाजित करना, डेटा का विश्लेषण करना, और इनपुट स्थितियों के आधार पर आउटपुट निर्धारित करना सीखते हैं। खंडानुसार क्रियाओं की व्याख्या और निर्माण की क्षमता गणित और वास्तविक दुनिया की समस्या समाधान में बढ़ती मूल्यवान हो रही है। जैसे-जैसे छात्र अपनी गणित शिक्षा में आगे बढ़ते हैं, वे उन जटिल कार्यों का सामना कर सकते हैं जो विभिन्न घटनाओं का वर्णन करने के लिए खंडानुसार परिभाषाएँ उपयोग करते हैं।


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खंडों में कार्य

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