Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Trabajo por partes


En matemáticas, las funciones definidas por partes son un concepto esencial, especialmente en matemáticas de grado 11. Comprender las funciones definidas por partes ayudará a los estudiantes a establecer conexiones entre expresiones algebraicas, formas de gráficos y escenarios del mundo real donde se aplican diferentes reglas en diferentes intervalos. Esta explicación profundizará en la definición, metodología, ejemplos y aplicaciones de las funciones definidas por partes.

¿Qué son las funciones definidas por partes?

Una función definida por partes es una función que está definida por varias subfunciones, cada una de las cuales se aplica a un intervalo específico en el dominio. En lugar de tener una sola expresión para todo el dominio, una función definida por partes tiene diferentes expresiones para diferentes partes de su dominio. Esto significa que la regla para calcular la salida cambia dependiendo del valor de entrada.

Las funciones definidas por partes generalmente se escriben en el siguiente formato:

f(x) = {
    { expresión1, condición1 }
    { expresión2, condición2 }
    { expresión3, condición3 }
    ,
,

Analicemos esto:

  • expresión1, expresión2, expresión3,...: Estas son las diversas subfunciones o expresiones que componen la función definida por partes.
  • condición1, condición2, condición3,...: Cada expresión corresponde a una condición o intervalo del dominio para el cual la expresión es válida.

Una función definida por partes verifica la condición para cada valor x para decidir qué expresión usar para ese valor x en particular.

Visualización de tareas en bloques

Tomemos un ejemplo para explicar este concepto visualmente:

Considera una función definida por partes que se define como:

    f(x) = {
        { x + 2, x < 0 }
        { 3x, 0 ≤ x < 2 }
        { 2x – 1, x ≥ 2 }
    ,

Esta función tiene tres partes o secciones:

  • Si x < 0, f(x) = x + 2 es una función lineal con pendiente de 1 e intersección en y en 2.
  • Si 0 ≤ x < 2, f(x) = 3x. Esto también es una función lineal, pero tiene una pendiente de 3 y pasa por el origen.
  • Si x ≥ 2, f(x) = 2x - 1 de nuevo, una función lineal con una pendiente de 2 e intersección en y en -1.

El gráfico anterior muestra la función definida por partes con tres segmentos de línea, cada uno de los cuales está coloreado de manera diferente para mayor claridad:

  • La línea roja muestra f(x) = x + 2 para x < 0.
  • La línea verde representa f(x) = 3x para 0 ≤ x < 2.
  • La línea azul muestra f(x) = 2x - 1 para x ≥ 2.

Resolviendo tareas en partes

Cuando se da una función definida por partes, resolverla simplemente significa determinar el valor de la función para un valor x en particular. Los pasos para resolver una función definida por partes se pueden describir de la siguiente manera:

  1. Determinar en qué posición o intervalo cae el valor x dado.
  2. Usar la expresión correspondiente para calcular el valor de la función.

Ejemplo 1

Vamos a resolver la función definida por partes definida anteriormente para varios valores de x:

f(x) = x + 2 donde x < 0, f(x) = 3x donde 0 ≤ x < 2, f(x) = 2x - 1 donde x ≥ 2.

  • Para x = -3: Como -3 < 0, usa f(x) = x + 2.
    •  f(-3) = -3 + 2 = -1
  • Para x = 0: Como 0 ≤ x < 2, usa f(x) = 3x.
    •  f(0) = 3(0) = 0
  • Para x = 1.5: Como 0 ≤ x < 2, usa f(x) = 3x.
    •  f(1.5) = 3(1.5) = 4.5
  • Para x = 2: Como x ≥ 2, usa f(x) = 2x - 1.
    •  f(2) = 2(2) - 1 = 3
  • Para x = 3: Como x ≥ 2, usa f(x) = 2x - 1.
    •  f(3) = 2(3) - 1 = 5

Aplicaciones de funciones por partes

Las funciones definidas por partes se utilizan ampliamente en aplicaciones del mundo real. Aquí están algunas de las principales áreas donde se aplican:

  • Tramos impositivos: Las tasas de impuestos a menudo varían en niveles de ingresos específicos, lo que hace de los impuestos un ejemplo perfecto de tributación por partes. Diferentes porciones de ingresos pueden gravarse a diferentes tasas.
  • Costos de envío: Algunas empresas de envío cobran diferentes tarifas en función del peso. Por ejemplo, el primer kilogramo puede costar una cierta cantidad, y los kilogramos adicionales tienen diferentes tarifas.
  • Precios de servicios públicos: Las facturas de electricidad y agua a menudo incluyen componentes por partes, donde diferentes tramos de consumo se facturan a diferentes tarifas.
  • Física: En física, muchos problemas pueden simplificarse dividiendo las tareas en partes. Por ejemplo, el movimiento de un objeto que se mueve a diferentes velocidades en diferentes intervalos.

Ejemplo 2: Problema fiscal en el mundo real

Supón que el sistema fiscal simplificado se define como:

    Tax(Income) = {
        { 0.1 * income, 0 ≤ income ≤ 10000 }
        { 1000 + 0.2 * (Income - 10000), 10000 < Income ≤ 20000 }
        { 3000 + 0.3 * (Income - 20000), Income > 20000 }
    ,

Esta función indica que:

  • El impuesto sobre ingresos de hasta $10,000 es el 10% de los ingresos.
  • Para ingresos entre $10,001 y $20,000, el impuesto es de $1000 más el 20% de la cantidad superior a $10,000.
  • El impuesto sobre ingresos superiores a $20,000 es de $3,000 más el 30% de la cantidad superior a $20,000.

Cálculo del impuesto para diferentes ingresos

  • Para ingresos de $9,000: Como 0 ≤ income ≤ 10000, usa 0.1 * income.
    •  Tax(9000) = 0.1 * 9000 = 900
  • Para ingresos de $15,000: Como 10000 < income ≤ 20000, usa 1000 + 0.2 * (income - 10000).
    •  Tax(15000) = 1000 + 0.2 * (15000 - 10000) = 1000 + 0.2 * 5000 = 2000
  • Para un ingreso de $30,000: Como income > 20000, usa 3000 + 0.3 * (income - 20000).
    •  Tax(30000) = 3000 + 0.3 * (30000 - 20000) = 3000 + 0.3 * 10000 = 6000

Creación e interpretación de funciones por partes

Cuando se te da un escenario o problema, puedes crear una función definida por partes de la siguiente manera:

  1. Identificando diferentes brechas o situaciones que requieren diferentes subtareas.
  2. Derivar la expresión correspondiente a cada intervalo o situación.
  3. Asegurarse de que las condiciones cubran todos los valores posibles para la variable de entrada, generalmente x.

Ejemplo 3: Diseñando una función definida por partes personalizada

Supongamos que necesitamos diseñar una función para un graduado que recibe una beca basada en sus logros académicos, definida de la siguiente manera:

Función de beca:

    Scholarship (Grade Percentage) = {
        {$500, Grade Percentage < 60 }
        {$1000 + 10 * (grade percentage - 60), 60 ≤ grade percentage < 80 }
        {$2500, grade percentage ≥ 80 }
    ,
  • Si el porcentaje de calificación del estudiante es inferior a 60, se le otorgará un monto de $500.
  • Si el porcentaje de calificación está entre 60 y 80, recibirán $1,000 más $10 por cada punto porcentual por encima de 60.
  • Si el estudiante obtiene un 80% o más, se le otorga un monto de $2500.

Cálculo de monto de beca

  • Para un porcentaje de calificación de 55: Usa $500.
    •  Scholarships(55) = $500
  • Para un porcentaje de calificación de 75: Usa $1000 + 10 * (gradePercentage - 60).
    •  Scholarship (75) = $1000 + 10 * (75 – 60) = $1000 + 150 = $1150
  • Para un porcentaje de calificación de 85: Usa $2500.
    •  Scholarships(85) = $2500

Entendiendo las operaciones definidas por partes, los estudiantes aprenden a descomponer escenarios complejos en componentes manejables, analizar datos y determinar resultados en función de las condiciones de entrada. La capacidad de interpretar y construir operaciones definidas por partes se está volviendo cada vez más valiosa en matemáticas y en la resolución de problemas del mundo real. A medida que los estudiantes avanzan en su educación matemática, pueden esperar encontrarse con tareas más complejas que utilizan definiciones por partes para describir varios fenómenos.


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