11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Funções trigonométricas


A trigonometria é um ramo importante da matemática que estuda as relações entre os ângulos e os lados dos triângulos. Uma das partes mais essenciais da trigonometria envolve as funções trigonométricas, que são fundamentais para entender vários conceitos em matemática e aplicações do mundo real.

Introdução às funções trigonométricas

As funções trigonométricas relacionam os ângulos de um triângulo com os comprimentos de seus lados. Essas funções são essenciais em áreas como física, engenharia e gráficos de computador. As três principais funções trigonométricas são seno (sin), cosseno (cos) e tangente (tan). Existem também os inversos dessas funções chamados de cosecante (csc), secante (sec) e cotangente (cot).

Definição das funções trigonométricas elementares

Considere um triângulo retângulo onde:

  • O ângulo em um vértice é representado por θ
  • O lado oposto ao θ é O
  • O lado adjacente ao θ é A
  • A hipotenusa do triângulo é H

As funções trigonométricas baseadas nesses lados são as seguintes:

    sin(θ) = o / h
    cos(θ) = a / h
    tan(θ) = o / a

Essas definições fornecem a base para resolver uma variedade de problemas de triângulos e se estendem além dos triângulos retângulos para o círculo unitário.

Círculo unitário

O círculo unitário é um conceito fundamental ao estudar funções trigonométricas. É um círculo com raio 1, centrado na origem (0,0) no plano coordenado. O círculo unitário nos permite definir funções trigonométricas para todos os ângulos reais, que são medidos em radianos.

A representação visual do círculo unitário é a seguinte:

11-1-1

No círculo unitário, qualquer ângulo θ corresponde a um ponto no círculo. A coordenada x desse ponto é cos(θ) e a coordenada y é sin(θ). Essa relação significa que cada ângulo real pode produzir um par único de valores para seno e cosseno.

Extensão para outros quadrantes

As funções trigonométricas estão bem definidas em todos os quatro quadrantes. Aqui está como elas se comportam em cada quadrante:

  • Primeiro quadrante (0 a π/2 ou 0 a 90°): Todas as funções trigonométricas são positivas.
  • Segundo quadrante (π/2 a π ou 90° a 180°): O seno é positivo, mas o cosseno e a tangente são negativos.
  • Terceiro quadrante (π a 3π/2 ou 180° a 270°): A tangente é positiva, mas o seno e o cosseno são negativos.
  • Quarto quadrante (3π/2 a 2π ou 270° a 360°): O cosseno é positivo, mas o seno e a tangente são negativos.

Funções trigonométricas recíprocas

As definições das funções trigonométricas recíprocas são as seguintes:

    csc(θ) = 1 / sin(θ)
    sec(θ) = 1 / cos(θ)
    cot(θ) = 1 / tan(θ)

Essas funções podem ser usadas para definir propriedades e relações de ângulos e lados, especialmente em problemas mais complexos.

Gráficos de funções trigonométricas

Os gráficos de funções trigonométricas fornecem insights visuais sobre seu comportamento em diferentes intervalos. Vamos aprender como traçar gráficos das funções seno, cosseno e tangente em um gráfico padrão.

Gráfico da função seno

O gráfico de sin(θ) é uma onda que oscila entre -1 e 1 em intervalos de 2π radianos.

Uma representação simples de onda poderia ser assim:

2ππ1-1

Esse gráfico é periódico, o que significa que repete seu padrão de valores em intervalos regulares (2π radianos ou 360 graus). Os picos da onda estão em π/2 radianos (90°) e -1 está em 3π/2 radianos (270°).

Gráfico da função cosseno

O gráfico de cos(θ) é semelhante ao sin(θ), mas deslocado. Ele também oscila entre -1 e 1, começando em 1 quando θ = 0.

A função cosseno pode ser representada como:

2ππ1-1

Assim como a função seno, a onda do cosseno também é periódica, repetindo-se a cada 2π radianos ou 360 graus.

Gráfico da função tangente

O gráfico de tan(θ) é diferente dos gráficos de seno e cosseno. Não possui valores máximos ou mínimos porque a função tem assíntotas verticais onde se torna indefinida (em múltiplos ímpares de π/2).

Uma representação possível da função tangente seria a seguinte:

π/23π/25π/2

A função tangente repete seu padrão a cada π radianos ou 180 graus. As ondas correm do negativo ao positivo entre cada par de assíntotas.

Aplicações das funções trigonométricas

As funções trigonométricas são aplicadas em várias áreas, como:

  • Física: A trigonometria ajuda na compreensão dos movimentos ondulatórios, oscilações e também no estudo da luz e do som.
  • Engenharia: Usada em cálculos envolvendo estruturas, dinâmica e sistemas elétricos.
  • Astronomia: Cálculo das distâncias para estrelas e planetas.
  • Arte: Design de padrões, bem como cálculos de perspectiva em desenhos.
  • Navegação: Triangulação de posições usando sonografia construtiva e radar.

Exemplos práticos usando trigonometria

Quando arquitetos projetam edifícios, eles frequentemente usam funções trigonométricas para calcular ângulos e forças estruturais de carga. Da mesma forma, engenheiros podem calcular o arco de um objeto lançado ao ar.

Por exemplo, considere a viga de sustentação de uma ponte:

A viga deve suportar um certo peso, e as forças precisam ser calculadas usando funções trigonométricas para determinar o ângulo de instalação necessário. Se uma viga de suporte está perpendicular ao solo e a outra viga faz um ângulo θ com o solo, podemos usar:

    sin(θ) = força oposta/força da hipotenusa

Esse cálculo assegura que a ponte permaneça estável mesmo sob diferentes cargas e condições.

Conclusão

Compreender as funções trigonométricas é crucial para dominar muitos princípios que se aplicam em vários ramos da ciência e da matemática. Elas revelam as relações subjacentes entre ângulos e distâncias em movimentos circulares e não circulares.

À medida que os alunos progridem em seus estudos, eles encontrarão funções trigonométricas em contextos mais complexos, incluindo cálculo e física, onde esses conceitos fundamentais são ampliados. Dominar as funções trigonométricas cria uma base sólida para investidas matemáticas adicionais e aplicações práticas na vida cotidiana.


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