Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Funciones trigonométricas


La trigonometría es una rama importante de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Una de las partes más esenciales de la trigonometría implica las funciones trigonométricas, que son fundamentales para comprender varios conceptos en matemáticas y aplicaciones del mundo real.

Introducción a las funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas relacionan los ángulos de un triángulo con las longitudes de sus lados. Estas funciones son esenciales en campos como la física, la ingeniería y los gráficos por computadora. Las tres funciones trigonométricas principales son el seno (sin), el coseno (cos) y la tangente (tan). También existen los inversos de estas funciones llamadas cosecante (csc), secante (sec) y cotangente (cot).

Definición de funciones trigonométricas elementales

Considera un triángulo rectángulo donde:

  • El ángulo en un vértice está representado por θ
  • El lado opuesto a θ es O
  • El lado adyacente a θ es A
  • La hipotenusa del triángulo es H

Las funciones trigonométricas basadas en estos lados son las siguientes:

    sin(θ) = o / h
    cos(θ) = a / h
    tan(θ) = o / a

Estas definiciones proporcionan la base para resolver una variedad de problemas de triángulos, y se extienden más allá de los triángulos rectángulos hacia el círculo unitario.

Círculo unitario

El círculo unitario es un concepto fundamental al estudiar funciones trigonométricas. Es un círculo con un radio de 1, centrado en el origen (0,0) en el plano de coordenadas. El círculo unitario nos permite definir funciones trigonométricas para todos los ángulos reales, que se miden en radianes.

La representación visual del círculo unitario es la siguiente:

11-1-1

En el círculo unitario, cualquier ángulo θ corresponde a un punto en el círculo. La coordenada x de este punto es cos(θ) y la coordenada y es sin(θ). Esta relación significa que cada ángulo real puede producir un par único de valores para seno y coseno.

Extensión a otros cuadrantes

Las funciones trigonométricas están bien definidas en los cuatro cuadrantes. Así es como se comportan en cada cuadrante:

  • Primer cuadrante (0 a π/2 o 0 a 90°): Todas las funciones trigonométricas son positivas.
  • Segundo cuadrante (π/2 a π o 90° a 180°): El seno es positivo, pero el coseno y la tangente son negativos.
  • Tercer cuadrante (π a 3π/2 o 180° a 270°): La tangente es positiva, pero el seno y el coseno son negativos.
  • Cuarto cuadrante (3π/2 a 2π o 270° a 360°): El coseno es positivo, pero el seno y la tangente son negativos.

Funciones trigonométricas recíprocas

Las definiciones de las funciones trigonométricas recíprocas son las siguientes:

    csc(θ) = 1 / sin(θ)
    sec(θ) = 1 / cos(θ)
    cot(θ) = 1 / tan(θ)

Estas funciones pueden usarse para definir propiedades y relaciones de ángulos y lados, especialmente en problemas más complejos.

Graficación de funciones trigonométricas

Los gráficos de funciones trigonométricas proporcionan ideas visuales sobre su comportamiento en diferentes intervalos. Aprendamos cómo graficar funciones de seno, coseno y tangente en un gráfico estándar.

Gráfico de la función seno

El gráfico de sin(θ) es una onda que oscila entre -1 y 1 en intervalos de 2π radianes.

Una representación simple de la onda podría ser así:

2ππ1-1

Este gráfico es periódico, lo que significa que repite su patrón de valores a intervalos regulares (2π radianes o 360 grados). Los picos de la onda están en π/2 radianes (90°) y -1 está en 3π/2 radianes (270°).

Gráfico de la función coseno

El gráfico de cos(θ) es similar a sin(θ), pero desplazado. También oscila entre -1 y 1, comenzando en 1 cuando θ = 0.

La función coseno puede representarse como:

2ππ1-1

Al igual que la función seno, la onda coseno también es periódica, repitiéndose cada 2π radianes o 360 grados.

Gráfico de la función tangente

El gráfico de tan(θ) es diferente de los gráficos de seno y coseno. No tiene valores máximos ni mínimos porque la función tiene asíntotas verticales donde se vuelve indefinida (en múltiplos impares de π/2).

Una posible representación de la función tangente sería la siguiente:

π/23π/25π/2

La función tangente repite su patrón cada π radianes o 180 grados. Las ondas van desde el infinito negativo hasta el infinito positivo entre cada par de asíntotas.

Aplicaciones de las funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas se aplican en una variedad de áreas, tales como:

  • Física: La trigonometría ayuda a comprender el movimiento ondulatorio, las oscilaciones y también en el estudio de la luz y el sonido.
  • Ingeniería: Usado en cálculos que involucran estructuras, dinámica y sistemas eléctricos.
  • Astronomía: Cálculo de las distancias a estrellas y planetas.
  • Arte: Diseño de patrones, así como cálculos de perspectiva en dibujos.
  • Navegación: Triangulación de posiciones usando sonografía constructiva y radar.

Ejemplos prácticos usando trigonometría

Cuando los arquitectos diseñan edificios, a menudo usan funciones trigonométricas para calcular ángulos y fuerzas de carga estructural. De manera similar, los ingenieros pueden calcular el arco de un objeto lanzado al aire.

Por ejemplo, considera la viga de soporte de un puente:

La viga debe soportar un cierto peso, y las fuerzas deben calcularse usando funciones trigonométricas para determinar el ángulo requerido de instalación. Si una viga de soporte es perpendicular al suelo y la otra viga forma un ángulo θ con el suelo, podemos usar:

    sin(θ) = fuerza opuesta/fuerza de la hipotenusa

Este cálculo asegura que el puente se mantenga estable incluso bajo diferentes cargas y condiciones.

Conclusión

Comprender las funciones trigonométricas es crucial para dominar muchos principios que se aplican en varias ramas de la ciencia y las matemáticas. Revelan las relaciones subyacentes entre ángulos y distancias dentro del movimiento circular y no circular.

A medida que los estudiantes avanzan en sus estudios, encontrarán funciones trigonométricas en configuraciones más complejas, incluidas el cálculo y la física, donde se amplían estos conceptos fundamentales. Dominar las funciones trigonométricas crea una base sólida para futuros emprendimientos matemáticos y aplicaciones prácticas en la vida diaria.


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