Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Функции и графики → Типы задач ↓


Логарифмическая функция


Логарифмические функции являются фундаментальной частью математики, особенно в тех контекстах, где участвуют экспоненциальный рост или снижение. Логарифмическая функция является обратной функцией к экспоненциальной. Проще говоря, если вы знаете значение показателя степени и хотите найти корневую базу, вы можете использовать логарифмическую функцию, чтобы найти эту базу. Давайте использовать логарифмы. Попробуем понять, что такое логарифмические функции, как они изображаются и изучим их применение на различных примерах и наглядных пособиях.

Понимание логарифмических функций

Логарифмическая функция выражается как:

y = log b (x)

В этом выражении:

  • b — основание логарифма.
  • x — аргумент логарифма.
  • y — показатель степени, к которому x получен путем возведения в степень основание b.

Важно помнить связь между логарифмами и экспонентами. Если:

b y = x

Эквивалентная логарифмическая форма:

y = log b (x)

Рассмотрим это графически на примере.

X Y y = log 2 (x)

Общие основания

В зависимости от контекста используются различные основания в логарифмических функциях. Наиболее распространенные базы:

  • Основание 10: Это известно как десятичный логарифм, обозначается log(x), или иногда пишется как log 10 (x).
  • Основание e: Известно как натуральный логарифм, обозначается как ln(x). Здесь e — это число Эйлера, которое приблизительно равно 2.71828.
  • Двоичный логарифм: где основание b равно 2, обозначается как log 2 (x).

Свойства логарифмов

Логарифмы обладают несколькими важными свойствами, которые делают их очень полезными для вычислений:

1. Правило произведения

Логарифм произведения равен сумме логарифмов следующих множителей:

log b (xy) = log b (x) + log b (y)

2. Правило частного

Логарифм частного равен разности логарифмов:

log b (x/y) = log b (x) - log b (y)

3. Правило степени

Логарифм степени равен показателю, умноженному на логарифм основания:

log b (x n) = n*log b (x)

4. Формула изменения основания

Логарифмы могут быть переведены из одного основания в другое с использованием формулы изменения основания. Например, чтобы перевести log b (x) в основание 10:

log b (x) = log(x) / log(b)

Графики логарифмических функций

График логарифмической функции — это кривая, которая растет слева направо. В отличие от экспоненциальных функций, которые увеличиваются или уменьшаются быстро, логарифмические функции растут непрерывно.

Типичный график y = log 2 (x) показан ниже:

X Y y = log 2 (x)

Основные моменты, которые стоит отметить по графику:

  • График проходит через точку (1, 0). Это потому что любой логарифм 1 равен нулю, так как b 0 = 1.
  • У графика вертикальная асимптота при x = 0; он приближается к оси y, но никогда ее не касается.
  • Эта функция не определена для x ≤ 0, так как логарифм нуля или отрицательного числа невозможно взять.

Примеры и применения

Пример 1: Вычисление логарифма

Вычислить log 10 (1000).

Мы знаем, что 10 3 = 1000, так что на основе этого log 10 (1000) = 3.

Пример 2: Использование свойств логарифмов

Упростить log 2 (32) - log 2 (4)

Используя правило частного:

log 2 (32/4) = log 2 (8)

Поскольку 2 3 = 8, log 2 (8) = 3.

Применения в реальной жизни

Логарифмические функции используются во многих приложениях в реальной жизни, таких как:

  • Измерение землетрясений: Шкала Рихтера для землетрясений является логарифмической. Землетрясение магнитудой 7.0 является в десять раз более мощным, чем землетрясение магнитудой 6.0.
  • Уровень pH: Шкала pH в химии — это логарифмическая мера концентрации ионов водорода в растворе. pH 3 в десять раз более кислый, чем pH 4.
  • Интенсивность звука: В акустике децибел (дБ) измеряет интенсивность звука логарифмически.

Заключение

Логарифмические функции являются важным математическим инструментом для анализа явлений, показывающих экспоненциальный рост или уменьшение. Благодаря свойствам и поведению логарифмов мы можем лучше понимать сложные системы и наборы данных. Исследуя различные примеры и изображая эти функции на графике, мы получаем более интуитивное понимание того, как работают логарифмы. Будь то вычисление интенсивности звука или навигация по химической шкале кислотности, логарифмические функции имеют важное значение для теоретической математики и практического применения.


Класс 11 → 2.1.4


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (2.1.3)
Экспоненциальная функция
следующая (2.1.5) →
Тригонометрические функции

комментарии 



Логарифмическая функция

https://www.buddymath.com/g11/2.1.4?bmal=ru