Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Función logarítmica


Las funciones logarítmicas son una parte fundamental de las matemáticas, especialmente en contextos donde el crecimiento o decayimiento exponencial está involucrado. La función logarítmica es el inverso de la función exponencial. En términos simples, si conoces el valor del exponente y deseas encontrar la base de la raíz, puedes usar la función logarítmica para encontrar la base de la raíz. Vamos a usar logaritmos. Intentemos entender qué son realmente las funciones logarítmicas, cómo se dibujan y explorar sus aplicaciones a través de varios ejemplos y ayudas visuales.

Entendiendo las funciones logarítmicas

La función logarítmica se expresa como:

y = log b (x)

En esta expresión:

  • b es la base del logaritmo.
  • x es el argumento del logaritmo.
  • y es el exponente al cual x se obtiene elevando la base b.

Es importante recordar la relación entre logaritmos y exponentes. Si:

 b y = x

La forma logarítmica equivalente es:

y = log b (x)

Miremos esto gráficamente con un ejemplo.

X Y y = log 2 (x)

Base común

Diferentes bases son utilizadas en funciones logarítmicas dependiendo del contexto. Las bases más comunes son:

  • Base 10: Se conoce como logaritmo común, representado como log(x), o a veces escrito como log 10 (x).
  • Base e: Conocido como logaritmo natural, representado como ln(x). Aquí, e es el número de Euler, que es aproximadamente igual a 2.71828.
  • Logaritmo binario: donde la base b es 2, representado como log 2 (x).

Propiedades de los logaritmos

Los logaritmos tienen varias propiedades importantes que los hacen muy útiles para cálculos:

1. Regla del producto

El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los siguientes factores:

log b (xy) = log b (x) + log b (y)

2. Regla del cociente

El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos:

log b (x/y) = log b (x) - log b (y)

3. Regla de la potencia

El logaritmo de una potencia es el exponente multiplicado por el logaritmo de la base:

log b (x n ) = n*log b (x)

4. Fórmula de cambio de base

Los logaritmos se pueden convertir de una base a otra utilizando la fórmula de cambio de base. Por ejemplo, para convertir log b (x) a base 10:

log b (x) = log(x) / log(b)

Gráficas de funciones logarítmicas

El gráfico de una función logarítmica es una curva que crece de izquierda a derecha. A diferencia de las funciones exponenciales que aumentan o disminuyen rápidamente, las funciones logarítmicas crecen continuamente.

Un gráfico típico de y = log 2 (x) se muestra a continuación:

X Y y = log 2 (x)

Puntos clave a tener en cuenta sobre el gráfico:

  • El gráfico pasa por el punto (1, 0). Esto se debe a que cualquier logaritmo de 1 es cero, ya que b 0 = 1.
  • El gráfico tiene una asíntota vertical en x = 0; se acerca al eje y pero nunca lo toca.
  • Esta función no está definida para x ≤ 0, porque no se puede tener el logaritmo de cero o un número negativo.

Ejemplos y aplicaciones

Ejemplo 1: Calculando el logaritmo

Calcular log 10 (1000).

Sabemos que 10 3 = 1000, por lo que basado en esto, log 10 (1000) = 3.

Ejemplo 2: Usando propiedades de logaritmos

Simplificar log 2 (32) - log 2 (4)

Usando la regla del cociente:

log 2 (32/4) = log 2 (8)

Ya que 2 3 = 8, log 2 (8) = 3.

Aplicaciones en la vida real

Las funciones logarítmicas se utilizan en muchas aplicaciones de la vida real, como:

  • Medición de terremotos: La escala de Richter para terremotos es logarítmica. Un terremoto de magnitud 7.0 es diez veces más poderoso que un terremoto de magnitud 6.0.
  • Nivel de pH: La escala de pH en química es una medida logarítmica de la concentración de iones de hidrógeno en una solución. Un pH de 3 es diez veces más ácido que un pH de 4.
  • Intensidad del sonido: En acústica, el decibelio (dB) mide la intensidad del sonido de forma logarítmica.

Conclusión

Las funciones logarítmicas son una herramienta matemática esencial para analizar fenómenos que muestran crecimiento o decayimiento exponencial. A través de las propiedades y comportamientos de los logaritmos, podemos entender mejor sistemas complejos y conjuntos de datos. Al explorar diferentes ejemplos y al graficar estas funciones, obtenemos una comprensión más intuitiva de cómo funcionan los logaritmos. Ya sea calculando la intensidad del sonido o navegando por la escala de acidez química, las funciones logarítmicas son vitales para las matemáticas teóricas y su aplicación práctica. Bridging the gap in between.


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Función logarítmica

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