Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Функции и графики → Типы задач ↓


Полиномиальная функция


Полиномиальные функции - это класс математических функций, которые являются алгебраическими выражениями. Понимание полиномиальных функций важно, потому что они формируют основную структуру различных процессов математического моделирования. Они появляются во многих реальных сценариях и являются строительными блоками многих более сложных функций, встречающихся в математике.

Что такое полиномиальные функции?

Полиномиальная функция - это функция, которая может быть представлена в следующей общей форме:

f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0

Здесь a n , a n-1 , ..., a 0 - это константы, известные как коэффициенты полинома, а n - это неотрицательное целое число, известное как степень полинома. Самая высокая степень x (которая является n в a n x н) является степенью полинома. Член a n не должен быть нулем для того, чтобы n была степенью.

Типы полиномиальных функций

Полиномиальные функции бывают разных форм в зависимости от их степени:

  • Устойчивые функции:
    Полиномиальная функция степени 0. Например, f(x) = 7 График постоянной функции представляет собой горизонтальную линию. 
    f(x) = c
    f(x) = c
  • Линейная функция:
    Полиномиальная функция степени 1. Например, f(x) = 2x + 3 Линейные функции графически изображаются в виде прямых линий. 
    f(x) = mx + c
    f(x) = mx + c
  • Квадратичная функция:
    Полиномиальная функция степени 2. Например, f(x) = x 2 - 4x + 4 графически изображает квадратичную функцию как параболу. 
    f(x) = ax 2 + bx + c
    f(x) = x 2 + bx + c
  • Кубическая функция:
    Полиномиальная функция степени 3. Например, f(x) = x 3 - 3x 2 + x - 2 показывает больше сложностей и множество поворотов. 
    f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
    f(x) = x 3 + bx 2 + cx + d
  • Квартальная функция:
    Полиномиал степени 4, такая как f(x) = x 4 - 2x 2 + 1 может создавать графики, которые выглядят волнистыми или U-образными. 
    f(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e
    f(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e

Графический метод полиномиальных функций

Построение графиков полиномиальных функций помогает увидеть корни и поведение функции. Следующие важные особенности необходимо учитывать при построении графика:

  • Пересечение:
    • Y-перехват: Точка, где график пересекает ось Y. Найдено путем вычиления f(0).
    • X-перехваты (истоки): Точки, где график пересекает или касается оси X, найденные решением f(x) = 0.
  • Поворотное поведение:
    • Определяется старшей частью (с самой высокой степенью) полинома.
    • Если степень четна, оба конца будут идти в одном направлении, вверх, если старший коэффициент положителен, и вниз, если он отрицателен.
    • Если степень нечетна, концы будут двигаться в противоположных направлениях, сдвигаясь вверх справа для положительного старшего коэффициента и вниз справа для отрицательного старшего коэффициента.
  • Переломная точка:
    • Максимальное количество переломных точек равно n-1, где n - это степень полинома.

Примеры полиномиальных функций

Давайте посмотрим на несколько примеров и научимся определять степень, старший коэффициент и график полинома:

Пример 1: Квадратичный полином

Дано: f(x) = x 2 - 3x + 2

  • Степень: 2 (квадратичная)
  • Старший коэффициент: 1
  • Y-перехват: f(0) = 2
  • X-перехват: Решение x 2 - 3x + 2 = 0 дает корни x = 1 и x = 2
f(x) = x 2 - 3x + 2

Пример 2: Кубический полином

Дано: f(x) = x 3 - 4x

  • Степень: 3 (кубическая)
  • Старший коэффициент: 1
  • Y-перехват: f(0) = 0
  • X-перехват: Решение x 3 - 4x = 0 дает корни в x = 0, x = 2 и x = -2
f(x) = x 3 - 4x

Свойства полиномиальных функций

При работе с полиномиальными функциями существуют несколько присущих свойств:

  • Непрерывные и гладкие: Полиномиальные функции непрерывны везде. Это означает, что график не имеет разрывов, скачков или острых углов.
  • Факторизуемые: любой полином можно разложить на линейные множители (могут быть задействованы комплексные или мнимые числа для некоторых корней).
  • Максимальная степень: Количество X-перехватов и локальных максимумов/минимумов конечно сравни со степенью.

Применение полиномиальных функций

Полиномиальные функции широко используются в различных областях:

  • Физика: полиномиальные функции представляют движение объектов при постоянном ускорении.
  • Экономика: используется для составления моделей затрат, выручки и прибыли.
  • Инженерия: моделирование нагрузок и сил, а также анализ конструкций и систем.
  • Биология: изучение темпов роста населения и различных биологических систем.

Заключение

Полиномиальные функции являются основными в математике и науке. Понимание их структуры, типов, методов графического построения и применения не только улучшает навыки решения задач, но и предоставляет основу для изучения более сложных уравнений и функций в продвинутой математике. Независимо от того, предсказываете ли вы поведение физической системы или анализируете сложные тенденции данных, полиномиальные функции являются неоценимыми инструментами в вашем математическом арсенале.


Класс 11 → 2.1.1


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (2.1)
Типы задач
следующая (2.1.2) →
Рациональные функции

комментарии 



Полиномиальная функция

https://www.buddymath.com/g11/2.1.1?bmal=ru