11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Funções Polinomiais


As funções polinomiais são uma classe de funções matemáticas que são expressões algébricas. Compreender funções polinomiais é essencial porque elas formam a estrutura básica de vários processos de modelagem matemática. Elas aparecem em muitos cenários do mundo real e são os blocos de construção de muitas funções mais complexas encontradas na matemática.

O que são funções polinomiais?

Uma função polinomial é uma função que pode ser representada na seguinte forma geral:

f(x) = a n x n   a n-1 x n-1   ...   a 1 x   a 0

Aqui, a n , a n-1 , ..., a 0 são constantes conhecidas como os coeficientes do polinômio, e n é um inteiro não-negativo conhecido como o grau do polinômio. A maior potência de x (que é n em a n x n) é o grau do polinômio. O termo a n não deve ser zero para que n seja um grau.

Tipos de funções polinomiais

As funções polinomiais vêm em diferentes formas dependendo do seu grau:

  • Funções estáveis:
    Uma função polinomial com grau 0. Por exemplo, f(x) = 7 O gráfico de uma função constante é uma linha horizontal. 
    f(x) = c
    f(x) = c
  • Função linear:
    Uma função polinomial com grau 1. Por exemplo, f(x) = 2x 3 Funções lineares representam-se como linhas retas. 
    f(x) = mx   c
    f(x) = mx c
  • Função quadrática:
    Uma função polinomial com grau 2. Por exemplo, f(x) = x 2 - 4x 4 graficamente, uma quadrática é uma parábola. 
    f(x) = ax 2   bx   c
    f(x) = x 2 bx c
  • Função cúbica:
    Uma função polinomial com grau 3. Por exemplo, f(x) = x 3 - 3x 2 x - 2 Funções cúbicas mostram mais complexidades e muitas reviravoltas. 
    f(x) = ax 3   bx 2   cx   d
    f(x) = x 3 bx 2 cx d
  • Função quartílica:
    Um polinômio com grau 4, como f(x) = x 4 - 2x 2 1 pode render gráficos que parecem ondulados ou em forma de U. 
    f(x) = ax 4   bx 3   cx 2   dx   e
    f(x) = ax 4 bx 3 cx 2 dx e

Gráficos de funções polinomiais

Traçar gráficos de funções polinomiais ajuda a visualizar as raízes e o comportamento da função. Algumas características importantes a serem observadas ao traçar o gráfico são as seguintes:

  • Interseção:
    • Interseção Y: O ponto onde o gráfico cruza o eixo y. Encontrado avaliando f(0).
    • Interseções X (origens): Os pontos onde o gráfico cruza ou toca o eixo x, encontrados resolvendo f(x) = 0.
  • Comportamento no Limite:
    • Determinado pelo termo principal (termo de maior grau) do polinômio.
    • Se o grau é par, ambas as extremidades irão na mesma direção, para cima se o coeficiente principal for positivo e para baixo se for negativo.
    • Se o grau for ímpar, as extremidades seguem em direções opostas, subindo à direita para um coeficiente principal positivo e descendo à direita para um coeficiente principal negativo.
  • Ponto de Inflexão:
    • O número máximo de pontos de inflexão é n-1, onde n é o grau do polinômio.

Exemplos de funções polinomiais

Vamos ver alguns exemplos e aprender a identificar o grau, o coeficiente principal e traçar um gráfico de um polinômio:

Exemplo 1: Polinômio quadrático

Dado: f(x) = x 2 - 3x 2

  • Grau: 2 (quadrático)
  • Coeficiente principal: 1
  • Interseção Y: f(0) = 2
  • Interseção X: Resolvendo x 2 - 3x 2 = 0 obtêm-se as raízes x = 1 e x = 2

f(x) = x 2 - 3x 2

Exemplo 2: Polinômio cúbico

Dado: f(x) = x 3 - 4x

  • Grau: 3 (cúbico)
  • Coeficiente principal: 1
  • Interseção Y: f(0) = 0
  • Interseção X: Resolvendo x 3 - 4x = 0 obtemos raízes em x = 0, x = 2, e x = -2

f(x) = x 3 - 4x

Propriedades das funções polinomiais

Ao lidar com funções polinomiais, existem várias propriedades inerentes:

  • Contínuas e Suaves: Funções polinomiais são contínuas em toda parte. Isso significa que o gráfico não tem quebras, saltos ou arestas afiadas.
  • Fatoráveis: qualquer polinômio pode ser fatorado em fatores lineares (pode envolver números complexos ou imaginários para algumas raízes).
  • Grau máximo: O número de interseções x e máximos/mínimos locais é finito em comparação com o grau.

Aplicações das funções polinomiais

As funções polinomiais são amplamente utilizadas em vários campos:

  • Física: Funções polinomiais representam o movimento de objetos onde a aceleração permanece constante.
  • Economia: Usadas para elaborar modelos de custo, receita e lucro.
  • Engenharia: modelagem de cargas e forças, bem como a análise de estruturas e sistemas.
  • Biologia: Estudo das taxas de crescimento populacional e vários sistemas biológicos.

Conclusão

As funções polinomiais são fundamentais na matemática e na ciência. Compreender sua estrutura, tipos, métodos de gráfico e aplicações não só melhora as habilidades de resolução de problemas, mas também fornece uma base para estudar equações e funções mais complexas em matemática avançada. Seja prevendo o comportamento de um sistema físico ou analisando tendências complexas de dados, as funções polinomiais servem como ferramentas inestimáveis no seu kit de ferramentas matemáticas.


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