Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Función polinómica


Las funciones polinómicas son una clase de funciones matemáticas que son expresiones algebraicas. Comprender las funciones polinómicas es esencial porque forman la estructura básica de varios procesos de modelado matemático. Aparecen en muchos escenarios del mundo real y son los bloques de construcción de muchas funciones más complejas que se encuentran en las matemáticas.

¿Qué son las funciones polinómicas?

Una función polinómica es una función que puede representarse en la siguiente forma general:

f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0

Aquí, a n , a n-1 , ..., a 0 son constantes conocidas como los coeficientes del polinomio, y n es un entero no negativo conocido como el grado del polinomio. La mayor potencia de x (que es n en a n x n) es el grado del polinomio. El término a n no debe ser cero para que n sea un grado.

Tipos de funciones polinómicas

Las funciones polinómicas vienen en diferentes formas dependiendo de su grado:

  • Funciones constantes:
    Una función polinómica con grado 0. Por ejemplo, f(x) = 7 El gráfico de una función constante es una línea horizontal. 
    f(x) = c
    f(x) = c
  • Función lineal:
    Una función polinómica con grado 1. Por ejemplo, f(x) = 2x + 3 Las funciones lineales se grafican como líneas rectas. 
    f(x) = mx + c
    f(x) = mx + c
  • Función cuadrática:
    Una función polinómica con grado 2. Por ejemplo, f(x) = x 2 - 4x + 4 Grafica una cuadrática como una parábola. 
    f(x) = ax 2 + bx + c
    f(x) = x 2 + bx + c
  • Función cúbica:
    Una función polinómica con grado 3. Por ejemplo, f(x) = x 3 - 3x 2 + x - 2 Las funciones cúbicas muestran más complejidades y muchos giros. 
    f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
    f(x) = x 3 + bx 2 + cx + d
  • Función cuártica:
    Un polinomio con grado 4, como f(x) = x 4 - 2x 2 + 1 puede producir gráficos que parecen ondulados o con forma de U. 
    f(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e
    f(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e

Gráfica de funciones polinómicas

Graficar funciones polinómicas ayuda a ver las raíces y el comportamiento de la función. Algunas características importantes a tener en cuenta al trazar el gráfico son las siguientes:

  • Intercepción:
    • Intercepción en Y: El punto donde el gráfico cruza el eje y. Se encuentra evaluando f(0).
    • Intercepciones en X (orígenes): Los puntos donde el gráfico cruza o toca el eje x, se encuentran resolviendo f(x) = 0.
  • Comportamiento al final:
    • Determinada por el término principal (término de mayor grado) del polinomio.
    • Si el grado es par, ambos extremos irán en la misma dirección, hacia arriba si el coeficiente principal es positivo y hacia abajo si es negativo.
    • Si el grado es impar, los extremos se mueven en direcciones opuestas, desplazándose hacia arriba a la derecha para un coeficiente principal positivo y hacia abajo a la derecha para un coeficiente principal negativo.
  • Punto de inflexión:
    • El número máximo de puntos de inflexión es n-1, donde n es el grado del polinomio.

Ejemplos de funciones polinómicas

Veamos algunos ejemplos y aprendamos a identificar el grado, el coeficiente principal y a graficar un polinomio:

Ejemplo 1: Polinomio cuadrático

Dado: f(x) = x 2 - 3x + 2

  • Grado: 2 (cuadrático)
  • Coeficiente principal: 1
  • Intercepción en Y: f(0) = 2
  • Intercepción en X: Resolver x 2 - 3x + 2 = 0 da las raíces x = 1 y x = 2
f(x) = x 2 - 3x + 2

Ejemplo 2: Polinomio cúbico

Dado: f(x) = x 3 - 4x

  • Grado: 3 (cúbico)
  • Coeficiente principal: 1
  • Intercepción en Y: f(0) = 0
  • Intercepción en X: Resolver x 3 - 4x = 0 da raíces en x = 0, x = 2 y x = -2
f(x) = x 3 - 4x

Propiedades de las funciones polinómicas

Al trabajar con funciones polinómicas, hay varias propiedades inherentes:

  • Continuas y Suaves: Las funciones polinómicas son continuas en todas partes. Esto significa que el gráfico no tiene rupturas, saltos o bordes afilados.
  • Factorizables: cualquier polinomio puede factorizarse en factores lineales (puede implicar números complejos o imaginarios para algunas raíces).
  • Grado máximo: El número de intercepciones en x y máximos/mínimos locales es finito en comparación con el grado.

Aplicaciones de las funciones polinómicas

Las funciones polinómicas se utilizan ampliamente en varios campos:

  • Física: Las funciones polinómicas representan el movimiento de objetos donde la aceleración permanece constante.
  • Economía: Se utilizan para preparar modelos de costos, ingresos y beneficios.
  • Ingeniería: modelado de cargas y fuerzas, así como el análisis de estructuras y sistemas.
  • Biología: Estudio de tasas de crecimiento poblacional y varios sistemas biológicos.

Conclusión

Las funciones polinómicas son fundamentales en matemáticas y ciencia. Comprender su estructura, tipos, métodos de graficación y aplicaciones no solo mejora las habilidades de resolución de problemas, sino que también proporciona una base para estudiar ecuaciones y funciones más complejas en matemáticas avanzadas. Ya sea que estés prediciendo el comportamiento de un sistema físico o analizando tendencias de datos complejas, las funciones polinómicas sirven como herramientas invaluables en tu conjunto de herramientas matemáticas.


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