Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 ↓


Алгебра


Алгебра — это раздел математики, который занимается символами и правилами манипулирования этими символами. В алгебре эти символы (и их арифметические операции) используются для представления реальных ситуаций.

Основные концепции алгебры

Переменные

В алгебре переменная — это символ, используемый для представления числа. Обычно это буква, например, x, y или z. Например, в уравнении x + 2 = 5 x является переменной.

Константы

Константы — это фиксированные значения. Они не изменяются. Примеры констант включают числа, такие как 3, -7 и 10.5.

Выражение

Алгебраическое выражение — это математическая фраза, содержащая числа, переменные и знаки операций. Пример алгебраического выражения: 4x + 7.

Уравнение

Алгебраическое уравнение — это утверждение о том, что два алгебраических выражения равны. Например, 3x + 2 = 11 — это уравнение. Уравнения могут иметь одно или несколько решений.

x = 3 Решение

Операции в алгебре

Сложение и вычитание

При сложении или вычитании алгебраических членов происходит объединение подобных членов. Подобные члены — это члены, имеющие переменные, возведенные в одну и ту же степень. Например:

4x + 3x = 7x
5a - 2a = 3a

Умножение

При умножении членов умножаются коэффициенты и складываются показатели степеней для одинаковых оснований. Например:

2x * 3x = 6x^2
4a * 5b = 20ab

Деление

При делении членов делятся коэффициенты и вычитаются показатели степеней для одинаковых оснований. Например:

8x^2 / 2x = 4x
15a^3 / 5a = 3a^2

Решение линейных уравнений

Решение уравнений означает нахождение значения переменной, делающее уравнение истинным. Вот основной пошаговый метод для решения линейных уравнений:

Пример 1

Решите уравнение 2x + 3 = 11.

Шаг 1: Вычесть 3 из обеих сторон.
2x + 3 - 3 = 11 - 3
2x = 8

Шаг 2: Разделить обе стороны на 2.
2x / 2 = 8 / 2
x = 4

Пример 2

Решите уравнение 5y - 7 = 18.

Шаг 1: Прибавить 7 к обеим сторонам.
5y - 7 + 7 = 18 + 7
5y = 25

Шаг 2: Разделить обе стороны на 5.
5y / 5 = 25 / 5
y = 5

Графики уравнений

График уравнения — это множество всех точек, удовлетворяющих уравнению. Для линейных уравнений этот график является прямой линией. Например, график y = 2x + 3 — это прямая линия.

y = 2x + 3

Многочлены

Многочлен — это выражение, состоящее из переменных и коэффициентов, построенное с использованием сложения, вычитания, умножения и неотрицательных целых степеней переменных.

Примеры многочленов

Примером многочлена является 3x^2 + 2x - 5. Этот многочлен имеет три члена:

  • 3x^2 называется квадратичным членом.
  • 2x называется линейным членом.
  • -5 называется постоянным членом.

Разложение многочленов на множители

Факторизация — это процесс разложения сложного выражения на более простые множители, которые можно перемножить, чтобы получить исходное выражение. Например, разложение многочлена x^2 - 5x + 6 дает:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c — это константы, и a ≠ 0. Чтобы решить квадратное уравнение, можно использовать:

  • Факторизацию
  • Дополнение до квадрата
  • Квадратную формулу

Квадратная формула

Квадратная формула для решения ax^2 + bx + c = 0:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Пример

Решите уравнение 2x^2 + 3x - 2 = 0 с использованием квадратной формулы:

a = 2, b = 3, c = -2
Шаг 1: Подставьте эти значения в квадратную формулу:
x = (-3 ± √(3^2 - 4 * 2 * -2)) / (2 * 2)
Шаг 2: Упростите под корнем:
x = (-3 ± √(9 + 16)) / 4
x = (-3 ± √25) / 4
Шаг 3: Решите для x:
x = (-3 ± 5) / 4
Решения:
x = (2) / 4 = 0.5
x = (-8) / 4 = -2

Неравенства

Неравенства — это математические утверждения, которые сравнивают выражения, не обязательно равные. Они обычно пишутся с одним из символов <, ≤, >, ≥. Например, решение неравенства x + 3 > 5 аналогично решению уравнения.

Пример

Решите неравенство 2x - 3 < 7.

Шаг 1: Прибавить 3 к обеим сторонам.
2x - 3 + 3 < 7 + 3
2x < 10

Шаг 2: Разделить обе стороны на 2.
2x/2 < 10/2
x < 5

Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений — это набор из двух или более уравнений, содержащих одни и те же переменные. Решение системы уравнений — это набор значений переменных, удовлетворяющих каждому уравнению в системе.

Методы решения

Существует несколько способов решения систем линейных уравнений:

  • Графически
  • Методом подстановки
  • Методом исключения

Пример (метод подстановки)

Решите систему уравнений:

1. x + y = 10
2. 2x - y = 1

Шаг 1: Решите уравнение 1 для y:

y = 10 - x

Шаг 2: Подставьте y в уравнение 2:

2x - (10 - x) = 1

Упростите x и решите:

2x - 10 + x = 1
3x = 11
x = 11 / 3

Шаг 3: Подставьте найденное значение x в уравнение 1, чтобы получить y:

x + y = 10
11/3 + y = 10
y = 10 - 11/3
y = 30/3 - 11/3
y = 19/3

Заключение

Алгебра служит прочной основой для высшей математики и предоставляет инструменты для решения различных математических задач. Понимание и практика алгебраических понятий, таких как переменные, уравнения, многочлены и системы уравнений, помогают учащимся развивать навыки решения задач, применимые как в учебе, так и в реальной жизни.


Класс 11 → 1


U
username
0%
завершено в Класс 11

следующая (1.1) →
Понимание последовательностей и рядов в алгебре

комментарии 



Алгебра

https://www.buddymath.com/g11/1?bmal=ru