Álgebra

Álgebra é um ramo da matemática que lida com símbolos e as regras para manipular esses símbolos. Na álgebra, esses símbolos (e suas operações aritméticas) são usados para representar situações do mundo real.

Conceitos básicos de álgebra

Variáveis

Na álgebra, uma variável é um símbolo usado para representar um número. Geralmente é uma letra como x, y ou z. Por exemplo, na equação x + 2 = 5, x é uma variável.

Constantes

Constantes são valores fixos. Elas não mudam. Exemplos de constantes incluem números como 3, -7 e 10.5.

Expressão

Uma expressão algébrica é uma frase matemática que pode conter números, variáveis e símbolos de operação. Um exemplo de expressão algébrica é 4x + 7.

Equação

Uma equação algébrica é uma declaração de que duas expressões algébricas são iguais. Por exemplo, 3x + 2 = 11 é uma equação. Equações podem ter uma ou mais soluções.

Operações em álgebra

Adição e subtração

Adicionar ou subtrair termos algébricos envolve combinar termos semelhantes. Termos semelhantes são termos que têm variáveis elevadas à mesma potência. Por exemplo:

4x + 3x = 7x
5a - 2a = 3a

Multiplicação

Ao multiplicar termos, você multiplica os coeficientes e soma os expoentes das mesmas bases. Por exemplo:

2x * 3x = 6x^2
4a * 5b = 20ab

Divisão

Ao dividir termos, você divide os coeficientes e subtrai os expoentes das mesmas bases. Por exemplo:

8x^2 / 2x = 4x
15a^3 / 5a = 3a^2

Resolução de equações lineares

Resolver equações significa encontrar o valor da variável que torna a equação verdadeira. Aqui está o método passo a passo básico para resolver equações lineares:

Exemplo 1

Resolva a equação 2x + 3 = 11.

Passo 1: Subtrair 3 de ambos os lados.
2x + 3 - 3 = 11 - 3
2x = 8

Passo 2: Dividir ambos os lados por 2.
2x / 2 = 8 / 2
x = 4

Exemplo 2

Resolva a equação 5y - 7 = 18.

Passo 1: Adicionar 7 a ambos os lados.
5y - 7 + 7 = 18 + 7
5y = 25

Passo 2: Dividir ambos os lados por 5.
5y / 5 = 25 / 5
y = 5

Gráficos de equações

O gráfico de uma equação é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a equação. Para equações lineares, esse gráfico é uma linha reta. Por exemplo, o gráfico de y = 2x + 3 é uma linha reta.

Polinômios

Um polinômio é uma expressão composta de variáveis e coeficientes, construída usando adição, subtração, multiplicação e expoentes inteiros não negativos das variáveis.

Exemplo de polinômios

Um exemplo de polinômio é 3x^2 + 2x - 5. Este polinômio tem três termos:

• 3x^2 é chamado de termo quadrático.
• 2x é chamado de termo linear.
• -5 é chamado de termo constante.

Fatoração de polinômios

Fatorar é o processo de quebrar uma expressão complexa em fatores mais simples que podem ser multiplicados para obter a expressão original de volta. Por exemplo, fatorando o polinômio x^2 - 5x + 6 obtemos:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Equações quadráticas

Uma equação quadrática é uma equação da forma ax^2 + bx + c = 0, onde a, b e c são constantes, e a ≠ 0. Para resolver uma equação quadrática, você pode usar:

• Fatoração
• Completar o quadrado
• Fórmula quadrática

Fórmula quadrática

A fórmula quadrática para resolver ax^2 + bx + c = 0 é:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Exemplo

Resolva a equação 2x^2 + 3x - 2 = 0 usando a fórmula quadrática:

a = 2, b = 3, c = -2
Passo 1: Substitua esses valores na fórmula quadrática:
x = (-3 ± √(3^2 - 4 * 2 * -2)) / (2 * 2)
Passo 2: Simplifique sob a raiz quadrada:
x = (-3 ± √(9 + 16)) / 4
x = (-3 ± √25) / 4
Passo 3: Resolva para x:
x = (-3 ± 5) / 4
As soluções são:
x = (2) / 4 = 0.5
x = (-8) / 4 = -2

Inequações

Inequações são declarações matemáticas que relacionam expressões que não são necessariamente iguais. Elas são geralmente escritas com um dos símbolos <, ≤, >, ≥. Por exemplo, resolver a inequação x + 3 > 5 é o mesmo que resolver uma equação.

Exemplo

Resolva a inequação 2x - 3 < 7.

Passo 1: Adicione 3 a ambos os lados.
2x - 3 + 3 < 7 + 3
2x < 10

Passo 2: Divida ambos os lados por 2.
2x/2 < 10/2
x < 5

Sistemas de equações lineares

Um sistema de equações lineares é um conjunto de duas ou mais equações que têm as mesmas variáveis. A solução de um sistema de equações é um conjunto de valores das variáveis que satisfazem cada equação no sistema.

Métodos de solução

Existem várias maneiras de resolver sistemas de equações lineares:

• Gráfico
• Substituição
• Eliminação

Exemplo (substituição)

Resolva o sistema de equações:

1. x + y = 10
2. 2x - y = 1

Passo 1: Resolva a Equação 1 para y:

y = 10 - x

Passo 2: Substitua y na Equação 2:

2x - (10 - x) = 1

Simplifique x e resolva:

2x - 10 + x = 1
3x = 11
x = 11 / 3

Passo 3: Substitua o valor de x na Equação 1 para obter y:

x + y = 10
11/3 + y = 10
y = 10 - 11/3
y = 30/3 - 11/3
y = 19/3

Conclusão

A álgebra serve como uma base forte para matemática de nível superior e fornece técnicas para resolver uma variedade de problemas matemáticos. Ao entender e praticar conceitos algébricos como variáveis, equações, polinômios e sistemas de equações, os alunos podem desenvolver habilidades de resolução de problemas fortes que são aplicáveis tanto em ambientes acadêmicos quanto no mundo real.

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