Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

Grado 11 ↓


Álgebra


El álgebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de los símbolos y las reglas para manipular esos símbolos. En álgebra, esos símbolos (y sus operaciones aritméticas) se utilizan para representar situaciones del mundo real.

Conceptos básicos del álgebra

Variables

En álgebra, una variable es un símbolo utilizado para representar un número. Generalmente, es una letra como x, y o z. Por ejemplo, en la ecuación x + 2 = 5, x es una variable.

Constantes

Las constantes son valores fijos. No cambian. Ejemplos de constantes incluyen números como 3, -7 y 10,5.

Expresión

Una expresión algebraica es una frase matemática que puede contener números, variables y símbolos de operación. Un ejemplo de una expresión algebraica es 4x + 7.

Ecuación

Una ecuación algebraica es una afirmación de que dos expresiones algebraicas son iguales. Por ejemplo, 3x + 2 = 11 es una ecuación. Las ecuaciones pueden tener una o más soluciones.

x = 3 Solución

Operaciones en álgebra

Suma y resta

Sumar o restar términos algebraicos implica combinar términos semejantes. Los términos semejantes son términos que tienen variables elevadas al mismo exponente. Por ejemplo:

4x + 3x = 7x
5a - 2a = 3a

Multiplicación

Al multiplicar términos, se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las mismas bases. Por ejemplo:

2x * 3x = 6x^2
4a * 5b = 20ab

División

Al dividir términos, se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las mismas bases. Por ejemplo:

8x^2 / 2x = 4x
15a^3 / 5a = 3a^2

Resolución de ecuaciones lineales

Resolver ecuaciones significa encontrar el valor de la variable que hace que la ecuación sea verdadera. Aquí está el método básico paso a paso para resolver ecuaciones lineales:

Ejemplo 1

Resuelve la ecuación 2x + 3 = 11.

Paso 1: Resta 3 a ambos lados.
2x + 3 - 3 = 11 - 3
2x = 8

Paso 2: Divide ambos lados por 2.
2x / 2 = 8 / 2
x = 4

Ejemplo 2

Resuelve la ecuación 5y - 7 = 18.

Paso 1: Suma 7 a ambos lados.
5y - 7 + 7 = 18 + 7
5y = 25

Paso 2: Divide ambos lados por 5.
5y / 5 = 25 / 5
y = 5

Gráficas de ecuaciones

La gráfica de una ecuación es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la ecuación. Para las ecuaciones lineales, esta gráfica es una línea recta. Por ejemplo, la gráfica de y = 2x + 3 es una línea recta.

y = 2x + 3

Polinomios

Un polinomio es una expresión que consiste en variables y coeficientes, construida utilizando suma, resta, multiplicación y exponentes enteros no negativos de las variables.

Ejemplo de polinomios

Un ejemplo de un polinomio es 3x^2 + 2x - 5. Este polinomio tiene tres términos:

  • 3x^2 se llama término cuadrático.
  • 2x se llama término lineal.
  • -5 se llama término constante.

Factorización de polinomios

La factorización es el proceso de descomponer una expresión compleja en factores más simples que pueden multiplicarse para obtener la expresión original. Por ejemplo, factorizar el polinomio x^2 - 5x + 6 da:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax^2 + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes, y a ≠ 0. Para resolver una ecuación cuadrática, puedes usar:

  • Factorización
  • Completar el cuadrado
  • Fórmula cuadrática

Fórmula cuadrática

La fórmula cuadrática para resolver ax^2 + bx + c = 0 es:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Ejemplo

Resuelve la ecuación 2x^2 + 3x - 2 = 0 usando la fórmula cuadrática:

a = 2, b = 3, c = -2
Paso 1: Sustituye estos en la fórmula cuadrática:
x = (-3 ± √(3^2 - 4 * 2 * -2)) / (2 * 2)
Paso 2: Simplifica bajo la raíz cuadrada:
x = (-3 ± √(9 + 16)) / 4
x = (-3 ± √25) / 4
Paso 3: Resuelve para x:
x = (-3 ± 5) / 4
Las soluciones son:
x = (2) / 4 = 0.5
x = (-8) / 4 = -2

Desigualdad

Las desigualdades son afirmaciones matemáticas que relacionan expresiones que no son necesariamente iguales. Generalmente se escriben con uno de los símbolos <, ≤, >, ≥. Por ejemplo, resolver la desigualdad x + 3 > 5 es lo mismo que resolver una ecuación.

Ejemplo

Resuelve la desigualdad 2x - 3 < 7.

Paso 1: Suma 3 a ambos lados.
2x - 3 + 3 < 7 + 3
2x < 10

Paso 2: Divide ambos lados por 2.
2x/2 < 10/2
x < 5

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen las mismas variables. La solución de un sistema de ecuaciones es un conjunto de valores de las variables que satisfacen cada ecuación en el sistema.

Métodos de solución

Hay varias formas de resolver sistemas de ecuaciones lineales:

  • Gráfica
  • Sustitución
  • Eliminación

Ejemplo (sustitución)

Resuelve el sistema de ecuaciones:

1. x + y = 10
2. 2x - y = 1

Paso 1: Resuelve la Ecuación 1 para y:

y = 10 - x

Paso 2: Sustituye y en la Ecuación 2:

2x - (10 - x) = 1

Simplifica y resuelve para x:

2x - 10 + x = 1
3x = 11
x = 11 / 3

Paso 3: Sustituye el valor de x en la Ecuación 1 para encontrar y:

x + y = 10
11/3 + y = 10
y = 10 - 11/3
y = 30/3 - 11/3
y = 19/3

Conclusión

El álgebra sirve como una base sólida para las matemáticas de nivel superior y proporciona técnicas para resolver una variedad de problemas matemáticos. A través del entendimiento y la práctica de conceptos algebraicos como variables, ecuaciones, polinomios y sistemas de ecuaciones, los estudiantes pueden desarrollar habilidades sólidas para resolver problemas aplicables tanto en la academia como en el mundo real.


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